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《2011年“華約”自主招生數(shù)學試題及答案解析》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、2011年“華約”自主招生試題解析一、選擇題1.設復數(shù)z滿足
2、z
3、<1且則
4、z
5、＝()解：由得，已經(jīng)轉化為一個實數(shù)的方程.解得
6、z
7、＝2（舍去），.2.在正四棱錐P－ABCD中，M、N分別為PA、PB的中點，且側面與底面所成二面角的正切為.則異面直線DM與AN所成角的余弦為()NMDCBAPQzONMDCBAPyx[分析]本題有許多條件，可以用“求解法”，即假設題中的一部分要素為已知，利用這些條件來確定其余的要素.本題中可假設底面邊長為已知（不妨設為2），利用側面與底面所成二面角可確定其他要素，
8、如正四棱錐的高等.然后我們用兩種方法，一種是建立坐標系，另一種是平移其中一條線段與另一條在一起.解法一：如圖1，設底面邊長為2，則由側面與底面所成二面角的正切為得高為.如圖建立坐標系，則A(1，－1，0)，B(1，1，0)，C(－1，1，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，)，則，.設所成的角為θ，則.解法二：如圖2，設底面邊長為2，則由側面與底面所成二面角的正切為得高為.平移DM與AN在一起.即M移到N，D移到CD的中點Q.于是QN＝DM＝AN.而PA＝PB＝AB＝2，所以QN＝AN＝，而
9、AQ＝，容易算出等腰ΔAQN的頂角.解法三：也可以平移AN與DM在一起.即A移到M，N移到PN的中點Q.以下略.3.已知，過點(－1,1)的直線l與該函數(shù)圖象相切，且(－1,1)不是切點，則直線l的斜率為()解：顯然(－1,1)在的圖象上.設切點為，，所以.另一方面，.所以x0＝1,所以.選C.4.若的最小值和最大值分別為()[分析]首先盡可能化簡結論中的表達式，沿著兩個方向：①降次：把三角函數(shù)的平方去掉；②去角：原來含兩個角，去掉一個.解：，可見答案是B[分析]題目中的條件是通過三個圓來給出的
10、，有點眼花繚亂.我們來轉化一下，就可以去掉三個圓，已知條件變?yōu)椋害O1O2邊O1O2上一點C，OO1、OO2延長線上分別一點A、B，使得O1A＝O1C，O2B＝O2C.解法一：連接，C在上，則，，，故，，.解法二：對于選擇填空題，可以用特例法，即可以添加條件或取一些特殊值，在本題中假設兩個小圓的半徑相等，則，，，.6.已知異面直線a，b成60°角.A為空間一點則過A與a，b都成45°角的平面()A.有且只有一個B.有且只有兩個C.有且只有三個D.有且只有四個[分析]已知平面過A，再知道它的方向
11、，就可以確定該平面了.因為涉及到平面的方向，我們考慮它的法線，并且假設a，b為相交直線也沒關系.于是原題簡化為：已知兩條相交直線a，b成60°角，求空間中過交點與a，b都成45°角的直線.答案是4個.7.已知向量則的最小值為()解：由得由于，可以用換元法的思想，看成關于x，y+z，y－z三個變量，變形，代入，答案B8.AB為過拋物線y2＝4x焦點F的弦，O為坐標原點，且，C為拋物線準線與x軸的交點，則的正切值為()解法一：焦點F（1，0），C（－1，0），AB方程y＝x–1，與拋物線方程y2＝4
12、x聯(lián)立，解得，于是，，答案ABGCEDAF解法二：如圖，利用拋物線的定義，將原題轉化為：在直角梯形ABCD中，∠BAD＝45°，EF∥DA，EF＝2，AF＝AD，BF＝BC，求∠AEB..類似的，有，，答案A解：，，，于是.將，暫時將x看成常數(shù)，欲使yz取得最大值必須，于是，解這個一元函數(shù)的極值問題，時取極大值.10.將一個正11邊形用對角線劃分為9個三角形，這些對角線在正11邊形內兩兩不相交，則（）A.存在某種分法，所分出的三角形都不是銳角三角形B.存在某種分法，所分出的三角形恰有兩個銳角三角
13、形C.存在某種分法，所分出的三角形至少有3個銳角三角形D.任何一種分法所分出的三角形都恰有1個銳角三角形解：我們先證明所分出的三角形中至多只有一個銳角三角形.如圖，假設ΔABC是銳角三角形，我們證明另一個三角形ΔDEF(不妨設在AC的另一邊)的(其中的邊EF有可能與AC重合)的∠D一定是鈍角.事實上，∠D≥∠ADC，而四邊形ABCD是圓內接四邊形，所以∠ADC＝180°－∠B，所以∠D為鈍角.這樣就排除了B，C.DBCAFEDBCA下面證明所分出的三角形中至少有一個銳角三角形.假設ΔABC中∠B
14、是鈍角，在AC的另一側一定還有其他頂點，我們就找在AC的另一側的相鄰(指有公共邊AC)ΔACD，則∠D＝180°－∠B是銳角，這時如果或是鈍角，我們用同樣的方法繼續(xù)找下去，則最后可以找到一個銳角三角形.所以答案是D.二、解答題解：（I），整理得（II）由已知，與（I）比較知.又，，，而，，代入得，，，12.已知圓柱形水杯質量為a克，其重心在圓柱軸的中點處（杯底厚度及重量忽略不計，且水杯直立放置）.質量為b克的水恰好裝滿水杯，裝滿水后的水杯的重心還有圓柱軸的中點處.（I）若b＝3a，求裝入半杯水的
