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《矩陣特征問題的求解(簡)》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、§1引言矩陣特征問題的求解物理、力學(xué)及工程技術(shù)領(lǐng)域中的許多問題在數(shù)學(xué)上都可歸結(jié)為求方陣特征值和特征向量的問題，如振動問題：橋梁的振動、機(jī)械振動、電磁振蕩、地震引起的建筑物的振動等等；物理學(xué)中的臨界點(diǎn)、臨界值的確定；微分系統(tǒng)中的穩(wěn)定性研究。這些常見的問題都與方陣的特征值和特征向量有關(guān)。求方陣的特征值和特征向量是數(shù)學(xué)、物理學(xué)、力學(xué)、電磁電工學(xué)以及工程技術(shù)所面臨的一個共同問題。定義：矩陣A?Rn?n，若有數(shù)?和非零向量x?Rn使得Ax＝?x，則稱?為A的特征值，x稱為?對應(yīng)的特征向量。在線性代數(shù)中的求法：解特征多項式
2、?E-A
3、=0.利用線性代數(shù)中的上
4、述方法計算特征值和特征向量是十分困難的;我們的目的是尋求一種適合計算機(jī)運(yùn)行的近似解法,且簡單、可行、有效。復(fù)習(xí)相關(guān)理論定義設(shè)矩陣A,B?Rn?n，若有可逆陣P，使定理1若矩陣A,B?Rn?n且相似，則B=P-1AP則稱A與B相似。（1）A與B的特征值完全相同；（2）若x是B的特征向量，則Px便為A的特征向量。定理2：設(shè)A?Rn?n具有完全的特征向量系，即存在n個線性無關(guān)其中?i為A的特征值，P的各列為相應(yīng)于?i的特征向量。的特征向量構(gòu)成Rn的一組基底，則經(jīng)相似變換可化A為對角陣。即矩陣A與對角陣?相似的充要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量即有可逆
5、陣P，使定理3：A?Rn?n，?1,…,?n為A的特征值，則（2）A的行列式值等于全體特征值之積，即（1）A的跡數(shù)等于特征值之和，即定義：設(shè)A?Rn?n為對稱矩陣，對任意x?Rn，x≠0，則稱比值矩陣A關(guān)于向量x的瑞雷(Rayleigh)商瑞雷(L.Rayleigh)——英國數(shù)學(xué)家，1842－1919定理4設(shè)A?Rn?n為對稱矩陣，其特征值?1≥?2≥…≥?n，則1）對任意x?Rn，x≠0，2）3）定理5（Gerschgorin圓盤定理）設(shè)A?Rn?n，則表示以aii為中心，以半徑為的復(fù)平面上的n個圓盤。（2）如果矩陣A的m個圓盤組成的并集S（連
6、通的）與其余（1）A的每一個特征值必屬于下述某個圓盤之中，n–m個圓盤不連接，則S內(nèi)恰包含m個A的特征值。1乘冪法定理6設(shè)A?Rn?n有n個線性無關(guān)的特征向量，若?1,?2,…,?n為A的n個特征值且滿足對任取初始向量x(0)?Rn，(x(0)?0)對乘冪公式確定的迭代序列{x(k)}，有下述結(jié)論：乘冪法與反冪法乘冪法是一種求矩陣的按模最大的特征值及其特征向量的方法。（1）當(dāng)時，對i=1,2,…,n收斂速度取決于的程度，r<<1收斂快，r?1收斂慢，且x(k)（當(dāng)k充分大時）為相應(yīng)于?1的特征向量的近似值。（2）當(dāng)時a）若?1=?2，則主特征值?
7、1及相應(yīng)特征向量的求法同（1）；收斂速度取決于程度。向量,分別為主特征值?1、?2相應(yīng)的特征向量的近似值。b）若?1=-?2，對i=1,2,…,nc）若，則連續(xù)迭代兩次，計算出x(k+1)，x(k+2)，然后對j=1,2,…,n解方程求出、后，由公式解出主特征值?1、?2。此時收斂速度取決于的程度。向量、分別為相應(yīng)于?1，?2的特征向量的近似值。乘冪法方法步驟設(shè)為n維向量，令r=max(x)表示向量x分量中絕對值最大者。1.任意給定初始向量(非零)v(0)=u(0)?0，取r0=max(v(0));2.產(chǎn)生迭代序列：為求A矩陣的按模最大的特征值?
8、1和其相應(yīng)的特征向量?1，v(1)=Au(0)，取r1=max(v(1)),…………v(2)=Au(1)，取r2=max(v(2)),v(k)=Au(k-1)，取rk=max(v(k)),3.循環(huán)次數(shù)控制：當(dāng)
9、rk-rk-1
10、
11、的按模最大的特征值及其相應(yīng)的特征向量，其中解：取初始向量v(0)=u(0)＝（0，0，1）T,則v(1)=Au(0)=(2，4，1）T;r1=max(v(1))=4;u(1)=1/4(2，4，1）T=(0.5，1，0.25）T;v(2)=Au(1)=(4.5，9，7.75）T;r2=max(v(2))=9;…………結(jié)果如下：r[1]=4.000000,u(1)=(0.500000,1.000000,0.250000)T
12、r1-r0
13、=4.000000,r[2]=9.000000,u(2)=(0.500000,1.000000,0.861111)T
14、
15、r2-r1
16、=5.000000,r[3]=11.444445,u(3)=(0.500000,1.000000,0.730582)T
17、r
