矩陣特征問題的求解.doc

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1、第五章矩陣特征問題的求解5。1引言在科學(xué)技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域中，許多問題都?xì)w為求解一個(gè)特征系統(tǒng)。如動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的振動(dòng)問題，求系統(tǒng)的頻率與振型；物理學(xué)中的某些臨界值的確定等等。設(shè)A為n階方陣,,若,有數(shù)l使Ax=lx(5。1）則稱l為A的特征值，x為相應(yīng)于l的特征向量。因此,特征問題的求解包括兩方面:1．求特征值l，滿足(5.2)2．求特征向量，滿足齊方程組（5.3）稱j(l)為A的特征多項(xiàng)式，它是關(guān)于l的n次代數(shù)方程。關(guān)于矩陣的特征值，有下列代數(shù)理論，定義1設(shè)矩陣A,B?Rn′n，若有可逆陣P，使則稱A與B相似。定理1若矩陣A,B?Rn′n且相似，則（1

2、）A與B的特征值完全相同；（2）若x是B的特征向量，則Px便為A的特征向量。定理2設(shè)A?Rn′n具有完全的特征向量系，即存在n個(gè)線性無關(guān)的特征向量構(gòu)成Rn的一組基底，則經(jīng)相似變換可化A為對(duì)角陣，即有可逆陣P,使其中l(wèi)i為A的特征值，P的各列為相應(yīng)于li的特征向量。定理3A?Rn′n，l1,…,ln為A的特征值，則（1)A的跡數(shù)等于特征值之和，即（2)A的行列式值等于全體特征值之積，即定理4設(shè)A?Rn′n為對(duì)稱矩陣,其特征值l1≥l2≥…≥ln，則(1）對(duì)任A?Rn，x≠0,（2）（3）定理5（Gerschgorin圓盤定理）設(shè)A?Rn′n，則(1）A的每一個(gè)

3、特征值必屬于下述某個(gè)圓盤之中，（5。4）（5.4）式表示以aii為中心，以半徑為的復(fù)平面上的n個(gè)圓盤。(2）如果矩陣A的m個(gè)圓盤組成的并集S（連通的)與其余n–m個(gè)圓盤不連接，則S內(nèi)恰包含m個(gè)A的特征值。定理4及定理5給出了矩陣特征值的估計(jì)方法及界。例1設(shè)有估計(jì)A的特征值的范圍。解由圓盤定理，A的3個(gè)圓盤為圖5。1D1:D2:D3:見圖5.1。D1為弧立圓盤且包含A的一個(gè)實(shí)特征值l1（因?yàn)樘摳蓪?duì)出現(xiàn)的原理），則3≤l1≤5.而l2，l3?D1∪D2，則,即5。2乘冪法與反冪法在實(shí)際工程應(yīng)用中，如大型結(jié)構(gòu)的振動(dòng)系統(tǒng)中，往往要計(jì)算振動(dòng)系統(tǒng)的最低頻率（或前幾個(gè)最

4、低頻率)及相應(yīng)的振型,相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題便為求解矩陣的按模最大或前幾個(gè)按模最大特征值及相應(yīng)的特征向量問題，或稱為求主特征值問題.5.2.1乘冪法乘冪法是用于求大型稀疏矩陣的主特征值的迭代方法，其特點(diǎn)是公式簡(jiǎn)單,易于上機(jī)實(shí)現(xiàn)。乘冪法的計(jì)算公式為:設(shè)A?Rn′n，取初始向量x（0）?Rn，令x(1）=Ax(0），x(2)=Ax(1)，…，一般有（5。5)形成迭代向量序列｛x(k)｝。由遞推公式（5。5），有(5。6)這表明x（k)是用A的k次冪左乘x（0)得到的,因此稱此方法為乘冪法，（5。5）或（5.6）式稱為乘冪公式，{x(k）｝稱為迭代序列。下面分析乘冪過程，

5、即討論當(dāng)k→∞時(shí)，｛x（k）｝與矩陣A的主特征值及相應(yīng)特征向量的關(guān)系。設(shè)A=（aij)n′n有完全的特征向量系，且l1,l2,…,ln為A的n個(gè)特征值,滿足v1，v2，…，vn為相應(yīng)的特征向量且線性無關(guān)，從而構(gòu)成Rn上的一組基底.對(duì)任取初始向量x（0)?Rn，可由這組基底展開表示為(5。7）其中a1，a2,…，an為展開系數(shù).將x（0）的展開式（5。7）代入乘冪公式（5。6）中，得(5.8）利用（5。8)式為（5.9)(1）如果A有唯一的主特征值，即,設(shè)l110，且由（5.9)式，有其中,由于，故當(dāng)k充分大時(shí)，ek?0,此時(shí)（5.10）對(duì)i=1，2，…，n，

6、若(a1v1）i10,考慮相鄰迭代向量的對(duì)應(yīng)分量比值，（5.11）即對(duì)i=1,…,n（5。12）這表明主特征值l1可由(5。11）或（5。12）式得到.由于迭代序列x（k)，當(dāng)k充分大時(shí),(5.10）式成立，x（k)與v1只相差一個(gè)常數(shù)因子，故可取x（k)作為相應(yīng)于主特征值l1的特征向量的近似值。迭代序列x（k)的收斂速度取決于的大小。（2）如果A的主特征值不唯一，且可分三種情況討論:a）l1=l2；b）l1=-l2;c)情況a）當(dāng)l1=l2時(shí),A的主特征值為二重根,根據(jù)（5.9）式當(dāng)k充分大時(shí),由于,j=3，…,n，ek?0，則對(duì)i=1，2，…,n，如果,

7、則(主特征值）且x(k）收斂到相應(yīng)于l1(=l2）的特征向量的近似值.這種重主特征值的情況，可推廣到A的r重主特征值的情況，即當(dāng)且時(shí)，上述討論的結(jié)論仍然成立。情況b）當(dāng)l1=-l2時(shí)，A的主特征值為相反數(shù)，（5.9）式為當(dāng)k充分大時(shí)，,j=3,4,…,n,ek?0，則（5。13）由于（5。13)式中出現(xiàn)因子（-1)k,則當(dāng)k變化時(shí)，x（k）出現(xiàn)振蕩、擺動(dòng)現(xiàn)象，不收斂，利用（—1)k的特點(diǎn)，連續(xù)迭代兩步，得從而，對(duì)i=1,2，…，n，若，則（5.14）開方之后,便得到A的以上主特征值l1，l2=—l1。為計(jì)算相應(yīng)于l1,l2的特征向量,采取組合方式,（5。15

8、）（5。16）可見分別為相應(yīng)于l1與l2的特征向量.