線性有限元法的穩(wěn)定性和誤差分析【文獻(xiàn)綜述】

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1、畢業(yè)設(shè)計(jì)文獻(xiàn)綜述信息與計(jì)算科學(xué)線性有限元法的穩(wěn)定性和誤差分析有限元方法的基本思想是用較簡單的問題代替復(fù)雜問題后再求解.它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成,對(duì)每一單元假定一個(gè)合適的、較簡單的近似解,然后推導(dǎo)求解這個(gè)域總的滿足條件(如結(jié)構(gòu)的平衡條件）,從而得到問題的解.這個(gè)解不是準(zhǔn)確解,而是近似解,因?yàn)閷?shí)際問題被較簡單的問題所代替.由于大多數(shù)實(shí)際問題難以得到準(zhǔn)確解,而有限元不僅計(jì)算精度高,而且能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀,因而成為行之有效的工程分析手段.和每一項(xiàng)新技術(shù)的推出的背景一樣,有限元方法的產(chǎn)生也是由于時(shí)代的迫切需

2、要,而新技術(shù)的出現(xiàn)后也需要經(jīng)歷歷史的重重考驗(yàn).在上個(gè)世紀(jì)40年代,由于航空事業(yè)的快速發(fā)展,對(duì)飛機(jī)內(nèi)部結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提出了越來越高的要求,即重量輕、強(qiáng)度高、剛度好,人們不得不進(jìn)行精確的設(shè)計(jì)和計(jì)算.正是在這一背景下,有限元方法迅速從結(jié)構(gòu)工程強(qiáng)度分析計(jì)算擴(kuò)展到幾乎所有的科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域,成為一種豐富多彩、應(yīng)用廣泛并且實(shí)用高效的數(shù)值分析方法[1,2].關(guān)于有限元方法早期的一些成功的實(shí)驗(yàn)求解方法與專題論文,完全或部分的內(nèi)容對(duì)有限元技術(shù)的產(chǎn)生做出的貢獻(xiàn),首先在應(yīng)用數(shù)學(xué)界第一篇有限元論文是1943年Courant?R發(fā)表的,文中描述了他使用三角形

3、區(qū)域的多項(xiàng)式函數(shù)來求解扭轉(zhuǎn)問題的近似解,由于當(dāng)時(shí)計(jì)算機(jī)尚未出現(xiàn),這篇論文并沒有引起應(yīng)有的注意.1956年,M.J.Turner?(波音公司工程師),R.Clough,H.C.Martin以及L.J.Topp?等四位共同在航空科技期刊上發(fā)表一篇采用有限元技術(shù)計(jì)算飛機(jī)機(jī)翼的強(qiáng)度的論文,文中把這種解法稱為剛性法(Stiffness),一般認(rèn)為這是工程學(xué)界上有限元法的開端.1960年,RayClough教授在美國土木工程學(xué)會(huì)(ASCE)會(huì)議上,發(fā)表一篇名為《The?Finite?Element?in?Plane?Stress?An

4、alysis》的論文,將應(yīng)用范圍擴(kuò)展到飛機(jī)以外之土木工程上,同時(shí)有限元法(Finite?Element?Method)的名稱也第一次被正式提出.由此之后,有限元法的理論迅速地發(fā)展起來,并廣泛地應(yīng)用于各種力學(xué)問題和非線性問題,成為分析大型、復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的強(qiáng)有力手段.并且隨著計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展,有限元法中人工是難以完成的大量計(jì)算工作能夠由計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)并快速地完成.因此,可以說計(jì)算機(jī)的發(fā)展很大程度上促進(jìn)了有限元法的建立和發(fā)展.有限元方法在國內(nèi)的產(chǎn)生和發(fā)展情況大致如下,我國的力學(xué)工作者為有限元方法的初期發(fā)展做出了許多貢獻(xiàn),其中比較著

5、名的有:陳伯屏（結(jié)構(gòu)矩陣方法）,錢令希（余能原理）,錢偉長（廣義變分原理）,胡海昌（廣義變分原理）,馮康（有限單元法理論）[3].遺憾的是由于當(dāng)時(shí)環(huán)境所致,我國有限元方法的研究工作受到阻礙,有限元理論的發(fā)展也逐漸與國外拉開了距離.20世紀(jì)60年代初期,我國的老一輩計(jì)算科學(xué)家較早地將計(jì)算機(jī)應(yīng)用于土木、建筑和機(jī)械工程領(lǐng)域.當(dāng)時(shí)黃玉珊教授就提出了“小展弦比機(jī)翼薄壁結(jié)構(gòu)的直接設(shè)計(jì)法”和“力法－應(yīng)力設(shè)計(jì)法”;而在70年代初期,錢令希教授提出了“結(jié)構(gòu)力學(xué)中的最優(yōu)化設(shè)計(jì)理論與方法的近代發(fā)展”.這些理論和方法都為國內(nèi)的有限元技術(shù)指明了方向

6、.1964年初崔俊芝院士研制出國內(nèi)第一個(gè)平面問題通用有限元程序,解決了劉家峽大壩的復(fù)雜應(yīng)力分析問題.20世紀(jì)60年代到70年代,國內(nèi)的有限元方法及有限元軟件誕生之后,曾計(jì)算過數(shù)十個(gè)大型工程,應(yīng)用于水利、電力、機(jī)械、航空、建筑等多個(gè)領(lǐng)域[4,5,6].關(guān)于有限元法的一些基本知識(shí),文獻(xiàn)[2,7,8,9]對(duì)本文的研究起到至關(guān)重要的作用,本文首先引入兩點(diǎn)邊值問題[2]其中使用有限元方法求解的穩(wěn)定性.這一部分,可以參考文獻(xiàn)[3],將上述問題變成等價(jià)的變分問題相應(yīng)的矩陣表達(dá)形式,我們可以討論對(duì)有限元方程的系數(shù)矩陣、右端向量發(fā)生擾動(dòng)對(duì)解

7、向量的影響,特別地,當(dāng)對(duì)稱時(shí),取,我們有結(jié)論[7]:存在正常數(shù),使得,為剖分單元的步長.我們還可以對(duì)上述兩點(diǎn)邊值問題,討論其有限元解法的收斂性,參考文獻(xiàn)[7],可得該問題的變分形式即為求線性有限元解,使,其中我們可以得到正交投影性質(zhì),以及最佳逼近性質(zhì),其中,,特別地,參考文獻(xiàn)[10],我們還可以得到,,為的分段線性插值多項(xiàng)式,即滿足插值條件,于是,我們可以得到線性有限元解函數(shù)與真解函數(shù)之間的誤差在空間的范數(shù)意義下有如下誤差估計(jì)式,其中,利用Nitsche技巧,可得誤差估計(jì)式.參考文獻(xiàn)[1]R.A.Adams.Sobolev

8、spaces.AcademicPress,NewYork,1975.[2]李榮華.偏微分方程數(shù)值解法.北京:高等教育出版社.2005.[3]馮康.基于變分原理的差分格式.應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué),1965,2(4):237~261.[4]夏道行,吳卓人,嚴(yán)紹宗等.實(shí)變函數(shù)論與泛函分析[M].北京:高等教育出版