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《線性方程組的解習(xí)題課》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、一、線性方程組有解的判定條件問題：證必要性.(),,nDnAnAR階非零子式中應(yīng)有一個(gè)則在設(shè)=(),根據(jù)克拉默定理個(gè)方程只有零解所對(duì)應(yīng)的nDn從而這與原方程組有非零解相矛盾，().nAR<即充分性.(),nrAR<=設(shè).個(gè)自由未知量從而知其有rn-任取一個(gè)自由未知量為１，其余自由未知量為０，即可得方程組的一個(gè)非零解.證必要性．,有解設(shè)方程組bAx=()(),BRAR<設(shè)則B的行階梯形矩陣中最后一個(gè)非零行對(duì)應(yīng)矛盾方程０＝１，這與方程組有解相矛盾.()().BRAR=因此并令個(gè)自由未知量全取0，rn-即可得方程組的一個(gè)解．充分性.()(),BRAR=設(shè)()()(),nrrBRAR
2、￡==設(shè)證畢其余個(gè)作為自由未知量,把這行的第一個(gè)非零元所對(duì)應(yīng)的未知量作為非自由未知量,小結(jié)有唯一解bAx=()()nBRAR==?()()nBRAR<=?有無(wú)窮多解.bAx=齊次線性方程組：系數(shù)矩陣化成行最簡(jiǎn)形矩陣，便可寫出其通解；非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解．若有解，化成行最簡(jiǎn)形矩陣，便可寫出其通解；例1求解齊次線性方程組解二、線性方程組的解法即得與原方程組同解的方程組由此即得例２求解非齊次線性方程組解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等變換，故方程組無(wú)解．例３求解非齊次方程組的通解解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等變換故方程組有解，且有所以方程組的通解為例４解證對(duì)增
3、廣矩陣B進(jìn)行初等變換，方程組的增廣矩陣為由于原方程組等價(jià)于方程組由此得通解：例５設(shè)有線性方程組解其通解為這時(shí)又分兩種情形：第2章習(xí)題課例１求下列矩陣的秩解對(duì)施行初等行變換化為階梯形矩陣注意在求矩陣的秩時(shí)，初等行、列變換可以同時(shí)兼用，但一般多用初等行變換把矩陣化成階梯形．當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)不相同時(shí)，一般用初等行變換求方程的解．當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同時(shí)，求線性方程組的解，一般都有兩種方法：初等行變換法和克萊姆法則．二、求解線性方程組例２求非齊次線性方程組的通解．解對(duì)方程組的增廣矩陣 進(jìn)行初等行變換，使其成為行最簡(jiǎn)單形．由此可知 ，而方程組(1)中未知量
4、的個(gè)數(shù)是 ，故有一個(gè)自由未知量.例３當(dāng) 取何值時(shí)，下述齊次線性方程組有非零解，并且求出它的通解．解法一系數(shù)矩陣 的行列式為從而得到方程組的通解解法二用初等行變換把系數(shù)矩陣 化為階梯形三、求逆矩陣的初等變換法例４求下述矩陣的逆矩陣．解注意用初等行變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用行變換，其間不能作任何列變換．同樣地，用初等列變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用列變換，其間不能作任何行變換．四、解矩陣方程的初等變換法或者例５解第2章 測(cè)試題一、填空題(每小題4分，共24分)．1．若 元線性方程組有解，且其系數(shù)矩陣的秩為，則當(dāng) 時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng) 時(shí)，方程組有無(wú)窮多解．2．齊次線性方程組
5、只有零解，則 應(yīng)滿足的條件是 ?。?．線性方程組有解的充要條件是二、計(jì)算題(第1題每小題8分，共16分；第2題每小題9分，共18分；第3題12分)．2．求解下列線性方程組有唯一解、無(wú)解或有無(wú)窮多解？在有無(wú)窮多解時(shí)，求其通解．三、利用矩陣的初等變換，求下列方陣的逆矩陣四、證明題(每小題8分，共16分)(每小題7分，共14分)．測(cè)試題答案()()nBRAR==?()()nBRAR<=?有無(wú)窮多解.bAx=非齊次線性方程組齊次線性方程組三、小結(jié)思考題思考題解答解故原方程組的通解為
