實變函數(shù)大綱

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1、普通高等教育“十二五”規(guī)劃教材新世紀新理念高等院校數(shù)學教學改革與教材建設精品教材《實變函數(shù)》編寫大綱新世紀以來，我國高等教育倡導高校要國際化，教學要信息化，要將研究性教學、創(chuàng)新性教學、實用性教學與傳統(tǒng)性教學相結合?！笆濉遍_局之初，國家將提高人才培養(yǎng)質量，加強素質教育等多個人才培養(yǎng)目標提高到了一個前所未有的高度，這也引起了全國幾乎所有高校的課程改革和調整，導致了傳統(tǒng)的數(shù)學課時被大量的壓縮和削減。但是，作為一本優(yōu)秀的數(shù)學教材，其完整的學科體系又要求必須要包含那么多的內容和深度，這與高校數(shù)學教學的現(xiàn)狀必然相矛盾。在這樣

2、的新形式下，我們的教材編寫思路需要作出調整。針對這一現(xiàn)狀，我們擬定編寫《實變函數(shù)》一書，以期在這方面做一些嘗試，主要想突出以下特色：1.對原有傳統(tǒng)內容進行優(yōu)化、精簡、取舍，并尋求更優(yōu)的引入方法、組織方法和介紹方法。2.注重實用性。從教學的角度出發(fā)，新的教材要盡可能的適應不同層面的老師和學生。要最大限度的服務于學校自主性學習和研究性學習形式的開展。編寫目錄如下（三級標題目錄）：第1章集合（字數(shù)：約3萬字）1.1　集合運算1.1.1　集合的概念1.1.2　集合的運算1.1.3　集合列的極限集1.1.4　集類1.2　集合的

3、基數(shù)1.2.1　映射1.2.2　集合的基數(shù)1.2.3　Bernstein定理1.3　可數(shù)集合1.3.1　可數(shù)集概念1.3.2　可數(shù)集性質1.4　不可數(shù)無窮集1.4.1　不可數(shù)無窮集1.4.2　連續(xù)基數(shù)1.5　集合與函數(shù)41.5.1　特征函數(shù)1.5.2　集合與函數(shù)習題1（會上討論并確定題型、題量）第2章維空間中的點集（字數(shù)：約3萬字）2.1　聚點、內點、邊界點、Bolzano—Weierstrass定理2.1.1聚點2.1.2內點2.1.3邊界點2.1.4Bolzano—Weierstrass定理2.2　開集、閉集與完

4、備集2.2.1開集2.2.2閉集2.2.3完備集2.3　博雷爾集2.3.1博雷爾集概念2.3.1博雷爾集性質2.4　p進位小數(shù)2.5　開集的構造2.5.1開集的構造2.5.2一維開集、閉集和完備集的構造2.6　點集間的距離2.5.1點集間的距離2.5.2隔離性定理習題2第3章測度理論（字數(shù)：約5萬字）3.1　外測度3.1.1外測度概念3.1.2外測度性質3.2　可測集合3.2.1可測集合概念3.2.2可測集合性質3.3開集的可測性3.3.1　區(qū)間的可測性3.3.2　開集的可測性43.4　乘積空間3.4.1乘積空間的區(qū)

5、間3.4.2乘積空間的可測集3.5　集合環(huán)上的測度3.5.1集合環(huán)與環(huán)上的測度3.5.2外測度與測度的延拓3.5.3Hausdorff測度與維數(shù)習題3第4章可測函數(shù)（字數(shù)：約5萬字）4.1可測函數(shù)的定義及其簡單性質4.1.1簡單函數(shù)4.1.2非負可測函數(shù)4.1.3可測函數(shù)概念4.1.4可測函數(shù)性質4.2　依測度收斂4.2.1依測度收斂概念4.2.2依測度收斂簡單性質4.3　可測函數(shù)列的收斂關系4.3.1Egroff定理4.3.2Lebesgue定理4.3.3Riesz定理4.4可測函數(shù)的結構4.4.1Lusin定理4

6、.4.2一維空間的Lusin定理習題4第5章積分理論（字數(shù)：約6萬字）5.1　非負簡單函數(shù)的勒貝格積分5.1.1非負簡單函數(shù)的勒貝格積分5.1.2非負簡單函數(shù)的勒貝格積分簡單性質5.2　非負可測函數(shù)的勒貝格積分5.2.1非負可測函數(shù)的勒貝格積分5.2.2非負可測函數(shù)的勒貝格積分簡單性質5.2.3Levi定理5.2.4Lebesgue基本定理45.2.5Fatou引理5.3　一般可測函數(shù)的勒貝格積分5.3.1勒貝格可積函數(shù)概念5.3.2勒貝格可積函數(shù)簡單性質5.3.3積分的絕對連續(xù)性5.3.4勒貝格控制收斂定理5.3.

7、5黎曼積分與勒貝格積分5.4重積分與累次積分5.4.1Fubini定理5.4.2Fubini定理的應用5.5微分與不定積分5.4.1不定積分5.4.2單調函數(shù)可微性5.4.3有界變差函數(shù)5.4.4絕對連續(xù)函數(shù)5.5.5積分變量替換公式5.5一般測度空間上的Lebesgue積分5.5.1簡單函數(shù)的Lebesgue積分5.5.2非負可測函數(shù)的Lebesgue積分5.5.3一般可測函數(shù)的Lebesgue積分5.5.4Lebesgue積分收斂定理習題5習題參考答案（字數(shù)：約1萬字）參考文獻總字數(shù)：約為23萬字注：以上數(shù)字均按

8、版面字數(shù)計算，請各位作者嚴格按照大綱規(guī)定控制字數(shù)，上下浮動不超過10%.版面字數(shù)的計算：每一個頁面所能排的行×每行字數(shù)（即列數(shù)）×面數(shù)；（行數(shù)和列數(shù)均用手數(shù)，不能用word里面的字數(shù)統(tǒng)計）；標點符號，空格，圖、表、公式占的版面，因為行文和轉行需要的空格均算版面字數(shù)。4