實(shí)變函數(shù)論教學(xué)大綱

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1、實(shí)變函數(shù)論教學(xué)大綱(FunctionsofRealVariable)課程代碼218.114.1編寫(xiě)時(shí)間課程名稱實(shí)變函數(shù)論英文名稱FunctionsofRealVariable學(xué)分?jǐn)?shù)3周學(xué)時(shí)3+1任課教師*徐勝芝、黃昭波等開(kāi)課院系**數(shù)學(xué)學(xué)院預(yù)修課程課程性質(zhì)：本課程是數(shù)學(xué)系基礎(chǔ)課，為數(shù)學(xué)系本科學(xué)生所必修。基本要求和教學(xué)目的：通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)熟練掌握關(guān)于可測(cè)集、可測(cè)函數(shù)的概念和性質(zhì)，深刻理解并掌握Lebesgue積分的理論，并在學(xué)習(xí)過(guò)程中形成抽象思維能力和邏輯推理能力的一個(gè)飛躍。課程基本內(nèi)容簡(jiǎn)介：本課程主要是以n維Euclid空間及其上實(shí)值函數(shù)為

2、背景，運(yùn)用點(diǎn)集分析的方法建立測(cè)度與積分的理論，具體內(nèi)容包括：集合、映射，Rn中點(diǎn)集的拓樸，可測(cè)集和可測(cè)函數(shù)，積分理論，微分和不定積分。教學(xué)方式:課堂講授+習(xí)題課訓(xùn)練教材和教學(xué)參考資料：作者教材名稱出版社出版年月教材夏道行實(shí)變函數(shù)論與泛函分析（上冊(cè)）高等教育出版社1984自編講義實(shí)變函數(shù)與泛函分析參考資料那湯松實(shí)變函數(shù)論高等教育出版社1958HewittE.,StrombergK.RealandAbstractAnalysisSpringer-Verlag1975教學(xué)內(nèi)容安排：第一章集合和Rn中的點(diǎn)集（10學(xué)時(shí)）§1集和集的運(yùn)算（2學(xué)時(shí)）§2映射和勢(shì)（

3、4學(xué)時(shí)）§3Rn中的點(diǎn)集（4學(xué)時(shí)）本章教學(xué)要求熟練掌握集合的代數(shù)運(yùn)算和極限運(yùn)算，能應(yīng)用Bernstein定理確定一些集合的勢(shì)，熟悉Rn的點(diǎn)集拓?fù)渲嘘P(guān)于開(kāi)集、閉集、稠密與疏朗等基本概念。第二章測(cè)度（12學(xué)時(shí)）§1外測(cè)度與可測(cè)集（4學(xué)時(shí)）§2測(cè)度及其性質(zhì)（4學(xué)時(shí)）§3可測(cè)集類（4學(xué)時(shí)）本章教學(xué)要求：掌握外測(cè)度的概念，正確理解Caratheudory條件，熟練掌握測(cè)度及其性質(zhì)，熟悉一些重要的可測(cè)集類，理解不可測(cè)集的典型例子。第三章可測(cè)函數(shù)（10學(xué)時(shí)）§1可測(cè)函數(shù)及其基本性質(zhì)（4學(xué)時(shí)）§2可測(cè)函數(shù)列的收斂（4學(xué)時(shí)）§3Lebesgue可測(cè)函數(shù)的結(jié)構(gòu)（2學(xué)時(shí)）

4、本章教學(xué)要求：熟練掌握可測(cè)函數(shù)的概念及其基本性質(zhì)，正確理解并掌握可測(cè)函數(shù)列幾種不同收斂的概念，通過(guò)對(duì)本章中幾個(gè)基本定理證明過(guò)程的分析，深刻領(lǐng)會(huì)實(shí)分析中的點(diǎn)集分析方法。第四章積分（14學(xué)時(shí)）§1積分的基本概念及性質(zhì)（4學(xué)時(shí)）§2積分的極限定理（4學(xué)時(shí)）§3重積分和Fubini定理（4學(xué)時(shí)）§4一般集上的測(cè)度和積分簡(jiǎn)介（2學(xué)時(shí)）本章教學(xué)要求：正確掌握積分的定義及其基本性質(zhì)，牢固掌握并能熟練應(yīng)用積分的Levi定理，F(xiàn)atou定理，Lebesgue控制收斂定理，掌握乘積測(cè)度和重積分的概念，熟練掌握Fubini定理，了解一般集上的測(cè)度和積分理論概要。第五章導(dǎo)數(shù)

5、與不定積分（8學(xué)時(shí)）§1有界變差函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（4學(xué)時(shí)）§2不定積分與全連續(xù)函數(shù)（4學(xué)時(shí)）本章教學(xué)要求：掌握有界變差函數(shù)與全連續(xù)函數(shù)的概念，掌握有界變差函數(shù)的可導(dǎo)性及其正規(guī)分解和Lebesgue分解，掌握Newton-Leibniz公式成立的充要條件。三、附注本課程可選擇采用兩種方案講授，其一是直接建立一般的測(cè)度和積分理論，以Lebesgue測(cè)度與積分作為特例；其二是著重介紹Lebesgue測(cè)度和積分理論，而后簡(jiǎn)述一般測(cè)度論的結(jié)果，并引導(dǎo)有興趣的學(xué)生自行深入討論。作業(yè)和考核方式：閉卷筆試*如該門(mén)課為多位教師共同開(kāi)設(shè)，請(qǐng)?jiān)诮虒W(xué)內(nèi)容安排中注明。**考慮到有

6、時(shí)同一門(mén)課由不同院系的教師開(kāi)設(shè)，請(qǐng)任課教師填寫(xiě)此欄。