也談矩陣的廣義逆【文獻(xiàn)綜述】

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1、畢業(yè)設(shè)計(jì)文獻(xiàn)綜述信息與計(jì)算科學(xué)也談矩陣的廣義逆矩陣是從許多實(shí)際問(wèn)題的計(jì)算中抽象相互來(lái)的一個(gè)極其重要的數(shù)學(xué)概念,它被廣泛地應(yīng)用到現(xiàn)代管理科學(xué)、自然科學(xué)、工程技術(shù)等各個(gè)領(lǐng)域.矩陣是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的基本概念,是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象,也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè)重要工具.“矩陣”這個(gè)詞是由西爾維斯特首先使用的,他為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個(gè)述語(yǔ).而實(shí)際上,矩陣這個(gè)課題在誕生之前就已經(jīng)發(fā)展的很好了.從行列式的大量工作中明顯的表現(xiàn)出來(lái),為了很多目的,不管行列式的值是否與問(wèn)題有關(guān),方陣本身都是可以研究和使用的,矩陣的許多基本性質(zhì)也是在行列式的發(fā)展中建立起來(lái)的.在邏輯上,矩陣的概念應(yīng)

2、先于行列式的概念,然而在歷史上次序正好相反.19世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家凱莉首先把矩陣作為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念提出來(lái),并首先發(fā)表了關(guān)于這個(gè)題目的一系列文章,首先引進(jìn)矩陣符號(hào)以簡(jiǎn)化記號(hào).1858年,他發(fā)表了關(guān)于這一課題的第一篇論文《矩陣論的研究報(bào)告》,系統(tǒng)地闡述了關(guān)于矩陣的理論.文中他定義了矩陣的相等、矩陣的運(yùn)算法則、矩陣的轉(zhuǎn)置以及矩陣的逆等一系列基本概念,指出了矩陣加法的可交換性與可結(jié)合性.另外,凱萊還給出了方陣的特征方程和特征根（特征值）以及有關(guān)矩陣的一些基本結(jié)果.凱萊出生于一個(gè)古老而有才能的英國(guó)家庭,劍橋大學(xué)畢業(yè)后留校講授數(shù)學(xué),三年后他轉(zhuǎn)從律師職業(yè),工作卓有成效,并利用業(yè)余時(shí)間研究數(shù)學(xué),發(fā)表了

3、大量的數(shù)學(xué)論文.1855年,埃米特(C.Hermite,1822～1901)證明了別的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一些矩陣類(lèi)的特征根的特殊性質(zhì),如現(xiàn)在稱(chēng)為埃米特矩陣的特征根性質(zhì)等.后來(lái),克萊伯施(A.Clebsch,1831～1872)、布克海姆(A.Buchheim)等證明了對(duì)稱(chēng)矩陣的特征根性質(zhì).泰伯(H.Taber)引入矩陣的跡的概念并給出了一些有關(guān)的結(jié)論.在矩陣論的發(fā)展史上,弗羅伯紐斯(G.Frobenius,1849-1917)的貢獻(xiàn)是不可磨滅的.他討論了最小多項(xiàng)式問(wèn)題,引進(jìn)了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念,以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論

4、,并討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重要性質(zhì).1854年,約當(dāng)研究了矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型的問(wèn)題.1892年,梅茨勒(H.Metzler)引進(jìn)了矩陣的超越函數(shù)概念并將其寫(xiě)成矩陣的冪級(jí)數(shù)的形式.傅立葉、西爾和龐加萊的著作中還討論了無(wú)限階矩陣問(wèn)題,這主要是適用方程發(fā)展的需要而開(kāi)始的.矩陣本身所具有的性質(zhì)依賴于元素的性質(zhì),矩陣由最初作為一種工具經(jīng)過(guò)兩個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展,現(xiàn)在已成為獨(dú)立的一門(mén)數(shù)學(xué)分支——矩陣論.而矩陣論又可分為矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣論等矩陣的現(xiàn)代理論.矩陣的應(yīng)用是多方面的,不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里,而且在力學(xué)、物理、科技等方面都十分廣泛的應(yīng)用.廣義逆的概念最早是由I.Fredholm提出

5、的,他給出了積分算廣義逆的定義,并稱(chēng)為“偽逆”.1904年,D.希爾伯特在廣義格林函數(shù)的討論中,含蓄地提出了微分算子的廣義逆.而任意矩陣的廣義逆定義最早是由E.H.穆?tīng)栐?920年提出的,他以抽象的形式發(fā)表在美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)刊上,他利用投影矩陣定義了矩陣唯一Moore的廣義逆.1933年,E.H.Moore的學(xué)生Y.Y.Tseng又將Moore廣義逆推廣到了Hilbert空間,提出了Hilbert空間線性算子的廣義逆的概念.20世紀(jì)50年代圍繞著某些廣義逆的最小二乘性質(zhì)的討論重新引起了人們對(duì)這個(gè)課題的興趣.然而,矩陣的廣義逆真正得到迅速的發(fā)展并在各個(gè)領(lǐng)域獲得卓有成效的應(yīng)用實(shí)在1955年英國(guó)

6、學(xué)者R.Penrose利用四個(gè)矩陣方程（現(xiàn)在稱(chēng)之為Penrose方程組）給出了廣義矩陣的簡(jiǎn)潔實(shí)用的新定義,即矩陣的Moore廣義逆滿足以下四個(gè)矩陣方程：（1），（2），（3），（4）因此,通常稱(chēng)條件（1）～（4）為Moore-Penrose條件.近五十年來(lái),廣義逆矩陣的理論和應(yīng)用得到了迅速發(fā)展,并在其中扮演著不可或缺的角色,例如微分方程、數(shù)值代數(shù)、線性統(tǒng)計(jì)推斷、最優(yōu)化、點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)分析、馬爾科夫鏈、系統(tǒng)理論、測(cè)量學(xué),等等,特別是在研究最小二問(wèn)題、長(zhǎng)方及病態(tài)線性方程問(wèn)題、非線性問(wèn)題、不適定問(wèn)題、馬爾科夫鏈等統(tǒng)計(jì)問(wèn)題、線性及非線性規(guī)劃問(wèn)題等之中,廣義逆是不可缺少的工具.因此,至今為止,矩陣及算子

7、廣義逆仍然是國(guó)際上非常活躍的一個(gè)研究領(lǐng)域.而且廣義逆理論本身以及相關(guān)的應(yīng)用領(lǐng)域蓋有很多有待進(jìn)一步研究.參考文獻(xiàn)[1]鄧勇.長(zhǎng)方形矩陣的廣義逆矩陣的計(jì)算方法[J].綿陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào),2008:34~37.[2]吳有為.求廣義逆矩陣的初等變換法[J].數(shù)學(xué)通報(bào),1992:26~27.[3]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.矩陣分析[M].同濟(jì)大學(xué)出版社.2005:153~173.[4]徐德余.矩陣初等變換的推廣及其應(yīng)用[J].綿陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào),2005:7~9.