關(guān)于環(huán)上矩陣的加權(quán)廣義逆【文獻(xiàn)綜述】

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1、畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)關(guān)于環(huán)上矩陣的加權(quán)廣義逆矩陣的廣義逆首先被E.H.Moore所注意.1955年，Penrose改進(jìn)并推廣/Bjerhammar關(guān)于線性方程組的結(jié)果，并證明了給定矩陣的Moore逆是滿足下列四個(gè)方程：(1)(2)XAX=X(3)(AX)^=AX(4)(XA)*=XA(其中*表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置)的唯一的矩陣X,這一結(jié)果非常重要并富有成果，以致這個(gè)唯一的廣義逆被通稱為Moore-Penrose逆.從此廣義逆的研究進(jìn)入丫一個(gè)新的時(shí)期.其理論和應(yīng)用得到了迅速發(fā)展，已經(jīng)成為矩陣論一個(gè)重要的分支.隨著矩陣廣義逆研究的不斷深入，

2、一般域、除環(huán)、主理想整環(huán)、Noether環(huán)、半單Artin環(huán)和帶有對合反自同構(gòu)的結(jié)合環(huán)上矩陣的廣義逆的研宄已有不同程度的進(jìn)展.自文［13］定義了矩陣的廣義Moore-Penrose逆以來，文［10］討論了帶有對合的范疇中具有滿單分解的態(tài)射的廣義Moore-Penrose逆.文［5］討論了帶有對合的有1的結(jié)合環(huán)上一類左(右)高矩陣的廣義Moore-Penrose逆存在的充要條件.進(jìn)一步，文

3、2

4、討論了具有泛分解的態(tài)射的廣義Moore-Penrose逆.由于泛分解概括了矩陣中的一些重要分解，如域上矩陣的極(Polar)分解、奇異值分解、Schur

5、分解［12］、左右PID環(huán)上矩陳的Smith分解，單Artin環(huán)上矩陳的等價(jià)分解等.因而，深入研宄具有這類分解的矩陣的廣義逆是很有意義的。廣義逆為Moore-Penrose逆(有時(shí)也簡稱為M-P逆)。從此廣義逆矩陣的研究進(jìn)入了一個(gè)新的吋期。其理論、應(yīng)用和計(jì)算方法的研究得到了迅速的發(fā)展，己成為矩陣論的一個(gè)重要分支。1958年，Drazin在其論文［16］，［12］中引入了Drazin逆，而群逆是由Frdelyi于1967年引進(jìn)的。廣義逆矩陣?yán)碚撛跀?shù)理統(tǒng)計(jì)、最優(yōu)化理論、控制理論、系統(tǒng)識(shí)別和數(shù)字圖像處理等許多領(lǐng)域都具有重要應(yīng)用。隨著矩陣廣義逆研宄的

6、不斷深入，一般域、除環(huán)、主理想整環(huán)、Noether環(huán)、半單Artin環(huán)和帶有對合反自同構(gòu)的結(jié)合環(huán)上矩陣的廣義逆的研究在國內(nèi)外己有不冋程度的進(jìn)展。如1983年K.P.S.BhaskaraRao討論了整環(huán)上矩陣的廣義逆［14］，1984年R.Puystjens研究了Noether環(huán)上矩陣的M-P逆［13］，分別得到了一些有用的結(jié)果；1988年曹重光在文獻(xiàn)［8］中給出了帶有對合反自同構(gòu)的一般環(huán)上任意矩陣均存在Moore-Penrose廣義逆的充要條件，它推廣了文獻(xiàn)［15］中相應(yīng)的結(jié)果；1991年陳建龍?jiān)谖墨I(xiàn)［1］屮討論了帶有對合反自同構(gòu)*有單位元的

7、結(jié)合環(huán)7?上形如/I=GDH（其中￡>2=￡>=￡>*，G為右高矩陣，H為左高矩陣）的矩陣的Moore-Penrose逆，給出丫這樣的矩陣存在Moore-Penrose逆的充要條件和Moore-Penrose逆的表達(dá)式；1994年陳建龍繼續(xù)文獻(xiàn)

8、1

9、的工作，進(jìn)一步討論環(huán)上形如為nxr階右高陣,H為rXAi階左高陣，D2=D）的方陣的另外兩個(gè)重要的廣義逆一群逆和Drazin逆［7］［11］，并給出了環(huán)上這一類方陣有群逆，{1，5}-逆的充要條件及其它們的表達(dá)式，推廣了體（域）上關(guān)于群逆的Cline定理。此外還首先得到了矩陣有Drazin逆的判別

10、準(zhǔn)則和它的表式；1996年杜先能；2002年劉淑丹，游宏在文獻(xiàn)［5］工作的基礎(chǔ)上，考慮了文獻(xiàn)［3］中同類矩陣的廣義M-P逆存在的充耍條件，并給出了逆存在時(shí)的表達(dá)式；2003年劉曉冀［4］，劉三陽，王志幣在文獻(xiàn)［9］中通過純環(huán)論的方法給出一般環(huán)上矩陣的Moore-Penrose逆存在的充要條件，并給出了它的一個(gè)顯式表達(dá)，從而推廣了以往文獻(xiàn)的相應(yīng)結(jié)果；2007年岑建茁在文獻(xiàn)

11、21，

12、61中討論了帶奮對合反自冋構(gòu)*奮單位元的結(jié)合環(huán)R上矩陣的Moore-Penrose逆，給出環(huán)R上矩陣的Moore-Penrose逆存在的幾個(gè)充要條件,得到了環(huán)上矩陣A

13、的Moore-Penrose逆存在的充要條件是A有分解A=GDH,其屮D2=D=D*，（GD）*G￡）+/-￡>和DH（DW）*+/-D均可逆；2006年劉曉冀在文獻(xiàn)

14、101中定義了一?種新的加權(quán)廣義逆一正則環(huán)上矩陣的加權(quán)廣義逆，利用矩陣的行空間和列空間，給出這種廣義逆存在的充要條件和它的一個(gè)顯式表達(dá)。特別地，給出了一般域、四元數(shù)體、除環(huán)上矩陣的Moore-Penrose逆存在的新的充要條件，推廣了以往文獻(xiàn)的相應(yīng)結(jié)果。雖然自上個(gè)世紀(jì)50年代以來，國內(nèi)外對廣義逆矩陣的研究十分活躍，已有好多研究成果，但也有大量的問題有待于解決。在現(xiàn)奮的成果中主要

15、是對一般域、除環(huán)、主理想整環(huán)、Noether環(huán)、半單Artin環(huán)和帶有對合反自同構(gòu)的結(jié)合環(huán)上的矩陣的廣義逆的結(jié)果。但對于一般環(huán)上矩陣的廣義逆的秩的結(jié)果相對較少，這是