第10章判別分析

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1、判別分析判別分析（discriminantanalysis）是對未知類別的樣品進(jìn)行歸類的一種方法。雖然也是對樣品進(jìn)行分類，但它與聚類分析還是不同的。聚類分析的研究對象還沒有分類，就是要根據(jù)抽取的樣本進(jìn)行分類，而判別分析的研究對象已經(jīng)有了分類，只是根據(jù)抽取的樣木建立判別公式和判別準(zhǔn)則，然后根據(jù)這些判別公式和判別準(zhǔn)則，判別未知類別的樣品所屬的類別。判別分析有著非常廣泛的應(yīng)用，比如在考古學(xué)上，根據(jù)出土物品判別墓葬年代、墓主人身份、性別；在醫(yī)學(xué)上，根據(jù)患者的臨床癥狀和化驗(yàn)結(jié)果判斷患者疾病的類型；在經(jīng)濟(jì)學(xué)上，根據(jù)各項(xiàng)經(jīng)

2、濟(jì)發(fā)展指標(biāo)判斷一個(gè)國家經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平所屬的類型；在模式識別領(lǐng)域，用來進(jìn)行文字識別、語音識別、指紋識別等。本章主要內(nèi)容包括：距離判別、貝葉斯（Bayes）判別和Fisher判別（又稱典型判別）的理論簡介，判別分析的MATLAB實(shí)現(xiàn)，判別分析具體案例。10.1判別今折簡介10.1.1距靂判別1?馬氏距離（Mahalanobis距離）設(shè)G為P維總體，它的分布的均值向量和協(xié)方差矩陣分別為A=_A._“2?■■z=6丨61?■?(T]2b22■■■??????2P■■?6???設(shè)兀=（坷，無2，???，兀卩）‘，y…，兒

3、）為取自總體g的兩個(gè)樣品，假定x>o（z為正定矩陣），定義七y間的平方馬氏距離為〃2（兀y）=（x-y）Y~x-y）定義x到總體G的平方馬氏距離為d~(x，G)=(x—//)工"(兀—//)2.兩總體距離判斷設(shè)有兩個(gè)P維總體G和G2,分布的均值向量分別為M、角，協(xié)方差矩陣分別為X]>0,》2〉0。從兩總體中分別為抽取容量為兀1，〃2的樣本，記為可1，兀12,…,％和兀“，畑…也?，F(xiàn)有一未知類別的樣品，記為如試判斷兀的歸屬，貝lj有以下判別規(guī)則xeG]，若d2(x,G})

4、x,G

5、)>d'gG?)(101)待判，若d2(x,GJ=dx,G2)?式(10.1)中的距離通常為馬氏距離。在采用馬氏距離的情況下，下面分情況討論。(1)X,=Z2=Z己知時(shí)將距離d2(x,G2)和d1(x,G])相減可得(f(兀G)-護(hù)(兀q)=(%—雄)Z-1(兀―/4)—(x—“)￡(兀一“)—2[_(叢；仏)]才(M—“2)A=°"彳,a=X(//]—“2)=(°i，°2，ap)'W(%)=(x-//)a=a(x-/z)則判別規(guī)則還可表示為fxeG”若W(x)>0G”若W(x)<0小「卄(1°?2

6、)待判，若W(兀)=0稱w(x)為兩組距離判別的線性判別函數(shù)，a為判別系數(shù)(2)Z,=Z9=Z未知時(shí)令即由樣本得出/A"，工的估計(jì)，從而可得Q和w(x)的估計(jì)只需將式(10.2)中的W(x)換為諺⑴，即可得此時(shí)的判別規(guī)則。(1)乙H爲(wèi)己知時(shí)令J(x)=d2(x,G})-d2(x,G2)則J(x)為二次判別函數(shù)，判別規(guī)則為XeG],若JO)>0

7、(兀一Xi)，Sf1(x_Xii=l,2J(x)=d(x,GJ-d(x,G2)將式(10.3)屮的J(x)換為J(x),即可得此種情況的判別規(guī)則。3.多總體距離判別設(shè)有k個(gè)P維總體G],G2,…,Gk，分布的均值向量分別為…，心，協(xié)方差矩陣分別為苕>0込>0,…爲(wèi)。從k個(gè)總體中分別抽取容量為2,???，〃￡的樣木，記為2/i2Xkl9Xk2*9Xknk現(xiàn)有一未知類別的樣品，記為x,試判斷x的歸屬，判別規(guī)則為xeG門若=min九GJ(山心'1

8、工2=???=乙=》已知時(shí)d2(x,GJ=(x—“J'Y"(x一叢)=x^~[x-2///Z_1x+卩：右'叢=xX1x—2(X'ju訂x—A'Ui’Ci=_込比工i“i，2=1，2,…，k6?2(x,Gz)=x^~}x-2(r丿+cj,i=l,2,???，k由于每一個(gè)距離中都有一個(gè)公共的二次項(xiàng)，故可不予考慮，只需考慮其線性部分。令(x)=rjX+Cj,i=l,2,…，￡則判別規(guī)則改為XGG,,若聊(兀)=maxWj(x)(10.5)稱比(兀)為第i個(gè)線性判別函數(shù)，厶為判別系數(shù)，G為常數(shù)項(xiàng)。(2)刀[=工2=

9、???=》《=工未知時(shí)]耳_-A=兀，2=1，2,…，比，〃=工耳3=s—工（耳—1）&z=in-k/=i即由樣本得出",?，工的估計(jì)，從而可得厶、q和比?(%)的估計(jì)Zz=SplXi,S；兀i,攻?（兀）=/丿+C，i=,2,…，k八1一‘Cj=—XI12將式(10.5)中的比?⑴換為Wz(x),即可得此種情況的判別規(guī)則。(2)乙上2，???，幼不全相等并且未知時(shí)令__J2(x,Gz)=(x-X