淺談初中數(shù)學(xué)線段之和最值問題

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1、淺談初中數(shù)學(xué)線段之和最值問題近年來(lái)，在全國(guó)各地出現(xiàn)的中考試題的平面幾何最值問題中，呈現(xiàn)出變化多、涉及面廣、形式靈活的景彖，対學(xué)牛來(lái)講是個(gè)難點(diǎn)；如果深入思考，nJ以發(fā)現(xiàn)：這類試題的命制都是立足于教材，解決途徑都是運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想“化折為直”。本文中，筆者根據(jù)近幾年的中考試題，結(jié)合浙教版教材和自己的教學(xué)體會(huì)，談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)中求線段之和最值的求解策略。1?直接應(yīng)用定(公)理求最值平面幾何解決最短線路問題時(shí)常用的公理(定理):①兩點(diǎn)Z間線段最短?②三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊(②是由①得出)；③直線外-點(diǎn)到百線

2、的所有線段中垂線段最短.1.1應(yīng)用兩點(diǎn)之間線段最短教材鏈接：七上7.3線段的長(zhǎng)短作業(yè)題：EU如圖，八、B、C、D表示4個(gè)村莊.村民們準(zhǔn)備合打一口水井，(1)略(2)你能給岀一°C中使水井到各村莊的距離之和最小的方案嗎？若能，請(qǐng)標(biāo)出水井的位置，并說(shuō)明理由.f。解題分析：B教材作業(yè)題中，因點(diǎn)D與點(diǎn)B、點(diǎn)A與點(diǎn)C是定點(diǎn)，當(dāng)水井打在AC與BD的交點(diǎn)時(shí)，水井到各村莊的距離Z和最小，直接利用“兩點(diǎn)Z間線段最短”的原理。中考鏈接：(2009111東濰坊)己知邊長(zhǎng)為a的正三角形八BC(—象限)，兩頂點(diǎn)A,B分別在平面直角坐標(biāo)系的x輸

3、y軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C在第一象限，連接0C,求00的長(zhǎng)的最人值.解題分析：濰坊的這一試題対教材進(jìn)行了拓展：點(diǎn)C為動(dòng)點(diǎn)，直接相聯(lián)不可能解決，但因?yàn)閮俳侨切涡边吷系闹芯€長(zhǎng)和等邊三角形邊上的中線也是定值,所以設(shè)AB中點(diǎn)為P,在一般情況下OP+POOC,當(dāng)0、P、C三點(diǎn)一線時(shí)OOOP+PC最大.求解策略：教材的模型是在兩立點(diǎn)ZI'可求最小值，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，只要把兩定點(diǎn)直接相連，對(duì)無(wú)法或較難最化的兩點(diǎn)間距離則可以利用兒何圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為“折線和”，再利用三角形三邊關(guān)系或兩點(diǎn)間線段最短可得出最值.1.2應(yīng)用垂線段

4、最短/K教材鏈接：七±7.7相交線(2)作業(yè)題如圖，直線1表示一段河道，點(diǎn)A表示集鎮(zhèn)，圖上距離與實(shí)際距離之比為1：2000000.現(xiàn)要從河1向集鎮(zhèn)A引水，問沿怎樣的路線開挖水渠,才能使水渠的長(zhǎng)度最短？……解題分析：教材作業(yè)題解決思路是過點(diǎn)A向垂直于水渠的方向開挖水渠，水渠長(zhǎng)最短.直接利用“氏線外一點(diǎn)到氏線的所有線屮垂線段最短”的原理.試題鏈接：2010臺(tái)灣如圖，AABC中，有一點(diǎn)P在AC上移動(dòng)?若AB=AC=5,BC=6,則AP+BP+CP的最小值為何？(A)8(B)8.8(C)9.8(D)10解題分析：臺(tái)灣此題AP

5、+PC二AC為定值5,從而三線段和轉(zhuǎn)化為求BP最小值，因?yàn)锽為定點(diǎn)，P為AC上一動(dòng)點(diǎn)，所以BP最小值就是定點(diǎn)B到AC的乖線段.求解策略：教材的模型是己知一怎點(diǎn)和一立克線求最小值?解答此類試題只要透過問題找到本質(zhì)，剔除一?些不變的線段（和）轉(zhuǎn)化為一定點(diǎn)到-淀直線的距離，再利用“直線外-點(diǎn)到直線的所有線屮垂線段最短”即可得出最小值.在平面幾何求最值這類問題屮，應(yīng)用軸對(duì)稱變換、平移變換和旋轉(zhuǎn)變換這三種圖形變換及性質(zhì)，可以將那些分散、遠(yuǎn)離的條件轉(zhuǎn)移到適當(dāng)?shù)奈恢蒙?，得以和?duì)集中后，再應(yīng)用上述定（公）理，便可迎刃而解.2.結(jié)合圖

6、形變換求最值B2?1應(yīng)用軸對(duì)稱變換把直線同側(cè)的線段和轉(zhuǎn)化為異側(cè)線段之和°A2.1.1一定直線+兩定點(diǎn)+—?jiǎng)狱c(diǎn)°教材鏈接：浙教版科學(xué)七下1.5光的反射和折射基本模型1：（將軍飲馬問題）白FI登山望烽火，黃昏飲馬傍交河。詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題：詩(shī)中將軍在觀望烽火之厲從山腳上的圖1A點(diǎn)出發(fā)，奔向交河旁邊的1）點(diǎn)飲馬，飲馬后再到8點(diǎn)宿營(yíng)，試問怎樣走，才能使總的路程最短？如圖，在定直線1同側(cè)有兩個(gè)定點(diǎn)A、B,在定直線1上有一動(dòng)點(diǎn)P,請(qǐng)找到使PA+PB最短的點(diǎn)P位置.BL圖2B思路分析：如圖2作A關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)人，連接

7、A3交1于p,則p點(diǎn)即為所求使AP+BP為最短的距離（此題過B作關(guān)于1的對(duì)稱點(diǎn)B也可，方法都是一樣的.中考鏈接：2010湖北鄂州市如圖所示，四邊形Q4BC為正方形，邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)A、C分別在兀軸，y軸的正半軸上，點(diǎn)D在04上，且D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,0）,P是OB±的一動(dòng)點(diǎn)，試求PD+PA和的最小值是A.2V10B.VH）C.4D.6??解題分析：由已知得點(diǎn)P為定直線OB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)A為兩個(gè)定點(diǎn)°用正方形的軸對(duì)稱性可知點(diǎn)A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)就是點(diǎn)C,因此PD+PA和IXPD+PC的最小值，而點(diǎn)A和點(diǎn)C都是定點(diǎn)，根據(jù)“兩

8、點(diǎn)之間線段最短”可彳求._求解策略：此類試題往往把背景變換成角、三角形、菱形、矩形、正方形、萬(wàn)朋標(biāo)軸、拋物線等，但都有一個(gè)“軸對(duì)稱性”的圖形共同點(diǎn)，解題時(shí)只要從變換的背景中提取"一定直線+兩定點(diǎn)+—?jiǎng)狱c(diǎn)”的數(shù)學(xué)模型，再通過找定冑線的對(duì)稱點(diǎn)把同側(cè)線段和轉(zhuǎn)化為異側(cè)線段和，利用“兩點(diǎn)間線段最短”，實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”即可解決.若設(shè)問是求三角形周長(zhǎng)或四邊