2016考研數學中值定理之泰勒中值定理

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1、屮值定理這部分的考點主要包含五人定理：費馬引理、羅爾小值定理、拉格朗日屮值定理、柯西屮值定理和泰勒屮值定理，它們在考研屮主要是以證明題的形式考杏人家。今天我們主要討論泰勒中值定理，泰勒中值定理在高等數學中的應用是非常多的。它的應用不僅僅局限在證明題屮，它還可以用到極限的計算中、鬲級數的展開和求和等，對于2016年的考牛而言，現在還處于復習的基礎階段，這個階段不需要掌握泰勒屮值定理的全部應用，只需要掌握它的基本內容即可。泰勒中值定理的內容是復雜的，為了幫助大家很好的理解，卜-面我們來推導一卜?泰勒屮值定理。高等數

2、學硏究的一個重要方向就是用簡單的函數去代替復雜的函數,這里大家不要認為函數的形式簡單了這個函數就簡單，比如基本初等函數中的y=exzy=lnx等，它們是看似簡單，實際上是比較復雜的函數，比如對于y=ex,我們知道y（0）=l5v（l）=.,但是具體來說。是一個無限不循壞小數，具體等于多少我們是不知道的。這里說的簡單函數是只包含加法和乘法運算的函數，最典型的是多項式函數￡（兀）=他+d』+L+°小才1,現在的基本想法是用多項式函數去代替其他的函數，此時有兩個間題是需要我們關注：1、什么時候可以替換？2、替換后的誤

3、差是多少？下面我們從這兩個問題來討論。1、什么時候可以替換？假設函數y=/（x）是”險匹導函數，在點十附近用多項式PnA）代替函數y=/（x）,假設多項式為2（x）=do+di（x-^）+L+%（乂-勺嚴+勺（X-忑）"?現在要用2（刃去替換v=/（x）,那么就需要保證在處二者盡可能接近,故有2（忑）=々=/（忑），為了確保在x=^處二者盡可能接近，則就需要確保在任意階導數在乂=氐處函數值相等，故理（x）=2n2+6a3（x-x0）+L+n（n-l）^（x-x0）:P*（勺）=2色=/"（兀）;M巳何（兀）=”

4、!a“=/◎（%）;此時得到多項式的系數為：弘=匚⑥?n則稱^（x）=/（^）+/UXx-^）+L+理％_就為函數J=/（x）在nx=^處的泰勒展開。2、替換后的誤差是多少？通過上面的分析知此時2（對與/（對是無限接近的，但是二者之間還是存在誤差的，我們把誤差禰為余頂&（X），故/（X）=2（X）+&（%）?下面給岀泰勒中值定理：【定理1】若幾X）在兀二勺及其附近有直到”1階導數，則f（x）=/（兀）+八兀）（x-吃）+L+了）（X-x^）n+心（X）n其中&（刃=「￥）（乂—兀嚴,§介于兀與勺之間，稱

5、為拉搭朗且余頂的泰勒（rz+1）!公式。當上述定理的條件變弱時，我們可以得到下面的公式:【定理2】若/（對在乂=吃及其附近有直到垃階導數函數，則/（X）=g+r（^）（x-兀）+l+（x-^r+&（兀）其中稱為皮亞若余頂的泰勒公式。這兩個公式的主要區(qū)別兢丈敘貞&（X）,故它們的使用范圍也是不同的:拉格朗日余?頂形丈復雜但很精確，主要用于證明題中；皮亞諾余頂形貳簡單，主要用于計算極限。對泰勒公式，考試主要考查大家的是下面的麥可勞林公式：麥克勞林公式=若勺=0,上面的泰勒公式稱為麥克勞林公式/(x)=/(0)+/(

6、0)x+L+嚴(0)n疋+&（功,其中&（力=廣7?汐,F在X與0之間.(n+1)!關于麥可勞林公式，大家記住五個常用的公式即可:rM-亍…侖八心。之間?心十討*】）為+（廿船x^3s§在乂與0之間.滸1COSE(2刃+2)!cosx=l-—+(-1)用仝二+(-1)2!(2對！g—+嚀*，心込士X”(川+1)!誠心*手+…+（-1）哼+再矛聽與0之間.對于基礎階段而言，大家掌握上面的基本內容就可以了，具體每個定理是怎么用的，是卜個階段人家要攻克的問題。