泰勒中值定理有關(guān)資料.doc

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1、在數(shù)學(xué)中，泰勒公式是一個(gè)用函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)足夠光滑的話，在已知函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值的情況之下，泰勒公式可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似函數(shù)在這一點(diǎn)的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個(gè)多項(xiàng)式和實(shí)際的函數(shù)值之間的偏差?？紤]用多項(xiàng)式去近似地表示一個(gè)復(fù)雜函數(shù)。自然底數(shù)e的具體數(shù)值是怎么算來(lái)的?使用Taylor公式的條件是：f(x)n階可導(dǎo)。其中o((x-x0)^n）表示比無(wú)窮小(x-x0)^n更高階的無(wú)窮小。Taylor公式最典型的應(yīng)用就是求任意函數(shù)的近似值。Taylor公式還可以求等價(jià)無(wú)窮小，證明不等式，求極限等我們知道f

2、(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根據(jù)拉格朗日中值定理導(dǎo)出的有限增量定理有l(wèi)imΔx→0f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.）Δx），其中誤差α是在limΔx→0即limx→x.的前提下才趨向于0，所以在近似計(jì)算中往往不夠精確；于是我們需要一個(gè)能夠足夠精確的且能估計(jì)出誤差的多項(xiàng)式：我們選取多項(xiàng)函數(shù)作為逼近的簡(jiǎn)單函數(shù)，理由很簡(jiǎn)單：在眾多初等函數(shù)中，如三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，多項(xiàng)函數(shù)等，從算術(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看，以多項(xiàng)函數(shù)最為簡(jiǎn)單，因?yàn)橐?jì)算多項(xiàng)函數(shù)的值，只牽涉到加減乘除四則運(yùn)算，其它函數(shù)就沒有這么簡(jiǎn)單.泰勒公式的初衷是用多項(xiàng)式來(lái)近似表示函數(shù)在

3、某點(diǎn)周圍的情況。比如說，指數(shù)函數(shù)ex?在x?=0的附近可以用以下多項(xiàng)式來(lái)近似地表示：稱為指數(shù)函數(shù)在0處的n?階泰勒展開公式。這個(gè)公式只對(duì)0附近的x?有用，x?離0?越遠(yuǎn)，這個(gè)公式就越不準(zhǔn)確。實(shí)際函數(shù)值和多項(xiàng)式的偏差稱為泰勒公式的余項(xiàng)。對(duì)于一般的函數(shù)，泰勒公式的系數(shù)的選擇依賴于函數(shù)在一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值。這個(gè)想法的原由可以由微分的定義開始。微分是函數(shù)在一點(diǎn)附近的最佳線性近似：，其中?是比h?高階的無(wú)窮小。也就是說，或。注意到?和?在a?處的零階導(dǎo)數(shù)和一階導(dǎo)數(shù)都相同。對(duì)足夠光滑的函數(shù)，如果一個(gè)多項(xiàng)式在a?處的前n?次導(dǎo)數(shù)值都與函數(shù)在a?處的前n?次導(dǎo)數(shù)值重合，那么這

4、個(gè)多項(xiàng)式應(yīng)該能很好地近似描述函數(shù)在a?附近的情況。以下定理說明這是正確的：定理：設(shè)?n?是一個(gè)正整數(shù)。如果定義在一個(gè)包含?a?的區(qū)間上的函數(shù)?f?在?a?點(diǎn)處?n+1次可導(dǎo)，那么對(duì)于這個(gè)區(qū)間上的任意?x，都有：[2]其中的多項(xiàng)式稱為函數(shù)在a?處的泰勒展開式，剩余的?是泰勒公式的余項(xiàng)，是?的高階無(wú)窮小。?的表達(dá)形式有若干種，分別以不同的數(shù)學(xué)家命名。