平面向量題型歸納(教師版)

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1、實用標(biāo)準(zhǔn)文檔平面向量中的兩個定理1.向量的數(shù)乘運算：求實數(shù)λ與向量的積的運算，運算法則：(1)

2、λa

3、＝

4、λ

5、

6、a

7、；(2)當(dāng)λ＞0時，λ與的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λ的與的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λ＝0運算律：λ(μ)＝(λμ)；(λ＋μ)＝λ＋μ；　λ(＋)＝λ＋λ2.共線向量定理向量(≠0)與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)λ，使得＝λ2．平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(1)平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使.其中，不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.(2)平面向量的正交分解：把一個向量分解為

8、兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．(3)平面向量的坐標(biāo)表示：①在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量，有且只有一對實數(shù)x，y，使，把有序數(shù)對叫做向量的坐標(biāo)，記作＝，其中叫在x軸上的坐標(biāo)，叫在y軸上的坐標(biāo)．②設(shè)，則向量的坐標(biāo)就是終點A的坐標(biāo)，即若，則A點坐標(biāo)為，反之亦成立．(O是坐標(biāo)原點)類型一、共線向量定理的應(yīng)用【例1】【2017山東省棗莊八中高三月考】設(shè)兩個非零向量與b不共線，(1)若＝＋，＝2＋8，＝3(－)，求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使k＋和＋k同向．文案大全實用標(biāo)準(zhǔn)文檔【例2】如圖，在△

9、ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，＝，＝，＝(1)用，b表示向量，，，，；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點共線．【答案】見解析【解析】(1)延長AD到G，使＝，連接BG，CG，得到?ABGC，所以＝＋，則有＝＝(＋)，＝＝(＋)，＝＝，＝－＝(＋)－＝(b－2)，＝－＝－＝(b－2)．(2)證明：由(1)可知＝，又因為，有公共點B，所以B，E，F(xiàn)三點共線．類型二、平面向量基本定理的應(yīng)用【例3】如果e1，e2是平面α內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是(　　)A．e1與e1＋e2　　　B．e1－2e2與e1＋2e2C．e1＋e2與e1－e2

10、D．e1＋3e2與6e2＋2e1【答案】D文案大全實用標(biāo)準(zhǔn)文檔【解析】選項A中，設(shè)e1＋e2＝λe1，則無解；選項B中，設(shè)e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，則無解；選項C中，設(shè)e1＋e2＝λ(e1－e2)，則無解；選項D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以兩向量是共線向量．【例4】如圖，以向量＝，＝為鄰邊作?OADB，＝，＝，用，表示，，.【答案】見解析平面向量的線性運算與坐標(biāo)運算1.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算(1)交換律：a＋b＝b＋a；文案大全實用標(biāo)準(zhǔn)文檔三角形法則平行四邊形法則(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

11、減法求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算(1)

12、λa

13、＝

14、λ

15、

16、a

17、；(2)當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；　λ(a＋b)＝λa＋λb2．平面向量的坐標(biāo)運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模：設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，

18、a

19、＝.[來源:學(xué).科.網(wǎng)](2)向量坐標(biāo)的求法：①若向量

20、的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，

21、

22、＝.3．平面向量共線的坐標(biāo)表示：設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b?x1y2－x2y1＝0.應(yīng)用舉例:類型一、平面向量的線性運算【例1】設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，＝3，則(　　)A．＝－＋B．＝－C．＝＋D．＝－文案大全實用標(biāo)準(zhǔn)文檔【答案】A類型二、平面向量的坐標(biāo)運算【例4】若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，則c可用向量a，b表示為(　　)A.a＋b　　　　　B．－a－bC.a＋bD.a－b【解析】設(shè)c＝xa＋yb，則

23、＝(2x－y，x＋2y)，所以解得則c＝a＋b.【例5】已知點M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，則點N的坐標(biāo)為(　　)A．(2,0)　　　　B．(－3,6)C．(6,2)D．(－2,0)【解析】＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，設(shè)N(x，y)，則＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，所以即【答案】A平面向量數(shù)量積求解問題的策略(1)求兩向量的夾角：cosθ＝，要注意θ∈[0，π]．（2）兩非零向量垂直的充要條件是：a⊥b?a·b＝0?

24、a－b

25、＝

26、a＋b

27、.(3)求向量