6.5 反常積分

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1、6.5、反常積分初步前面討論的定積分都是有界函數(shù)在有限區(qū)間上的積分.但在實(shí)際應(yīng)用與理論研究中,常常會(huì)遇到積分區(qū)間是無(wú)窮的,或者積分區(qū)間有限但被積函數(shù)無(wú)界的情形.因此需要對(duì)定積分加以推廣.對(duì)無(wú)限區(qū)間上的積分稱為無(wú)窮限積分,對(duì)無(wú)界函數(shù)的積分稱為瑕積分,統(tǒng)稱為反常積分.一、無(wú)窮限積分定義6.2:設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,??)上有定義,且對(duì)任意實(shí)數(shù)b(b?a),f(x)在[a,b]上可積,??則稱符號(hào)?f(x)dx為f(x)在無(wú)窮區(qū)間[a,??)上的無(wú)窮限積分.ab??若極限lim?f(x)dx存在,則稱無(wú)窮限積分?f(x)dx收斂,b???aa??b且定義極限值為該無(wú)窮

2、限積分的值,記作?af(x)dx?blim????af(x)dx.b??若極限lim?f(x)dx不存在,則稱無(wú)窮限積分?f(x)dx發(fā)散,b???aa這時(shí)它只是一個(gè)符號(hào),無(wú)數(shù)值意義.1例:考慮函數(shù)f(x)?在[1,??)上的無(wú)窮限積分.2x1解:對(duì)任意b?1,有f(x)?在[1,b]上可積,2xybbb1111且f(x)dx?dx???1?.y??1?1x2xb21xb1o1bx因此lim?f(x)dx?lim[1?]?1.b???1b???b幾何意義:無(wú)界區(qū)域的面積.??1??1那么由定義知:dx收斂且dx?1.?1x2?1x2??例:考慮無(wú)窮限積分?sinxd

3、x.0解:對(duì)任意b?0,有f(x)?sinx在[0,b]上可積.b且?sinxdx??cosb?1.0b??但由于lim?sinxdx?lim[?cosb?1]不存在,故?sinxdx發(fā)散.b???0b???0定義6.3:設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(??,b]上有定義,且對(duì)任意實(shí)數(shù)a(a?b),f(x)在[a,b]上可積,b則稱符號(hào)???f(x)dx為f(x)在無(wú)窮區(qū)間(??,b]上的無(wú)窮限積分.bb若極限alim????af(x)dx存在,則稱無(wú)窮限積分???f(x)dx收斂,bb且定義極限值為該無(wú)窮限積分的值,記作???f(x)dx?alim????af(x)dx.b

4、b若極限alim????af(x)dx不存在,則稱無(wú)窮限積分???f(x)dx發(fā)散,這時(shí)它只是一個(gè)符號(hào),無(wú)數(shù)值意義.0x例:考慮無(wú)窮限積分???edx.00xxa解:對(duì)任何a?0,有?edx?e?1?e.aaa而lim(1?e)?1a???00xx故???edx收斂,且???edx?1.0例:考慮無(wú)窮限積分???(2x?1)dx.0022解:對(duì)任何a?0,有?(2x?1)dx?(x?x)??(a?a).aa2而lim[?(a?a)]???,即極限不存在.a???0故???(2x?1)dx發(fā)散.定義6.4:設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(??,??)上有定義,c??若對(duì)任意實(shí)數(shù)

5、c,積分?f(x)dx與?f(x)dx都收斂,??c??則稱無(wú)窮限積分?f(x)dx收斂,????c??記作?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx.????cc??當(dāng)?f(x)dx與?f(x)dx至少有一個(gè)發(fā)散,??c??則稱?f(x)dx發(fā)散.??注:在定義6.4中,對(duì)任意實(shí)數(shù)c?存在一個(gè)實(shí)數(shù)c.0c0??證:"?",若存在一個(gè)c使得f(x)dx與f(x)dx都收斂,0????c0??c0??則對(duì)任意實(shí)數(shù)c,有?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx,ccc0cc0c?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx.????c0c0c由于?f(x)dx

6、與?f(x)dx可積,cc0??c0且?cf(x)dx與???f(x)dx收斂,0??c??cf(x)dx與???f(x)dx收斂.??1例:考慮無(wú)窮限積分dx.???1?x2??1??101解:由于dx中包括兩個(gè)無(wú)窮限積分dx與dx.???1?x2?01?x2???1?x2010對(duì)任何a?0,有dx?arctanx??arctana.?a2a1?x??0101?而lim(?arctana)??(?)?.故dx收斂,且dx?.a???22???1?x2???1?x22b1b?對(duì)任何b?0,有?02dx?arctanx0?arctanb.而lim(arctanb)?.

7、1?xb???2??1??1?故dx收斂,且dx?.?01?x2?01?x22??1??1??101?dx收斂,且dx?dx?dx??.???1?x2???1?x2?01?x2???1?x2??例:考慮無(wú)窮限積分?cosxdx.??????0解:由于???cosxdx中包括兩個(gè)無(wú)窮限積分?0cosxdx與???cosxdx.??bb而在?cosxdx中,對(duì)任意b?0,?cosxdx?sinb,即?cosxdx可積.000????但由于limsinb不存在,故?cosxdx發(fā)散,從而?cosxdx發(fā)散.b???0??????性質(zhì)6.6:?f(x)dx與?f(x)d