里昂惕夫投入產(chǎn)出模型

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1、一、有限馬爾科夫鏈1、馬爾科夫過程是用來測量或者估計隨著時間的推移而發(fā)生的移動。馬爾科夫矩陣中的每個值都是從一種狀態(tài)向另一狀態(tài)移動的可能性。通過反復(fù)用轉(zhuǎn)移矩陣乘以不同狀態(tài)下的初始分布的向量，我們可以估計不同時間上的狀態(tài)變化。2、假設(shè)：At和Bt分別代表在時間t上的A公司和B公司的員工人數(shù)，定義轉(zhuǎn)移概率是：PAA=目前在A者還留在A的概率，PAB=目前在A者轉(zhuǎn)移到B的概率，PBB=目前在B者還留在B的概率，PBA=目前在B者轉(zhuǎn)移到A的概率。如果我們把在時間t上員工轉(zhuǎn)移的分布寫成向量，得到：x’t=矩陣形式的轉(zhuǎn)移概率就是：M=,一般，對于n個時間段：n=。3、穩(wěn)定狀態(tài)

2、：由最初的轉(zhuǎn)移矩陣的冪次數(shù)上升而形成的新轉(zhuǎn)移矩陣最終收斂到各行數(shù)字相同的矩陣。二、里昂惕夫投入--產(chǎn)出模型1、投入-產(chǎn)出分析：任何一個產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)出，往往是其他許多產(chǎn)業(yè)的投入，或者是該產(chǎn)業(yè)自身的投入?！罢_”的產(chǎn)出水平將取決于所有n個產(chǎn)業(yè)的投入需求。同時所設(shè)想的“正確”的產(chǎn)出水平是為了滿足技術(shù)上的投入--產(chǎn)出關(guān)系，不是為了滿足市場均衡條件。2、投入-產(chǎn)出模型結(jié)構(gòu)的假設(shè)：（1）每個產(chǎn)業(yè)僅生產(chǎn)一中同質(zhì)的產(chǎn)品。（2）每個產(chǎn)業(yè)用固定的投入比例或要素組合生產(chǎn)其產(chǎn)品。（3）每一產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)服從常數(shù)規(guī)模報酬。3、為生產(chǎn)每一單位j產(chǎn)品所需投入的第i種商品為一固定數(shù)量aij,aij稱作投

3、入系數(shù)。對于n部門經(jīng)濟投入系數(shù)可排成矩陣A=[aij]，每一列表示生產(chǎn)每單位特定產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)品所需的投入。A=4、開放模型。若上述中的n各部門構(gòu)成了整個經(jīng)濟，則他們所有的產(chǎn)出都將僅被用于滿足同樣n個部門的投入需求而非最終需求。同時經(jīng)濟中所用的所有投入將具有中間投入的性質(zhì)而非基本投入的性質(zhì)。為了允許最終需求和基本投入的存在，我們在n個部門的框架之外引入一個開放部門?？紤]到開放部門的存在，投入系數(shù)矩陣A每一列的元素和必定小于1。即：<1,(j=1,2,…,n)，因此生產(chǎn)1單位j商品所需的基本投入值應(yīng)為1—。若產(chǎn)業(yè)I要生產(chǎn)恰好足以滿足n個產(chǎn)業(yè)的投入需求以及開放部門最終需求的

4、產(chǎn)品，其產(chǎn)出水平x1必定滿足下列方程：x1=a11x1+a12x2+...+a1nxn+d1,或（1-a11)x1-a12x2-...-a1nxn=d1，其中d1表示對其產(chǎn)出的最終需求，a1jxj代表第j產(chǎn)業(yè)的投入需求。類似地，其他產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)出水平應(yīng)滿足以下方程：x2=a21x1+a22x2+...+a2nxn+d2，.......xn=an1x1+an2x2+...+annxn+dn，用矩陣符號可以表示成：=?？蓪⑵鋵懗桑海↖-A）x=d,其中x和d分別為變量向量和最終需求向量。矩陣（I-A)被稱作里昂惕夫矩陣，只要（I-A)為非奇異矩陣，則可求其逆（I-A）-1

5、，X*=(I-A)-1d。6、霍金斯-西蒙條件。里昂惕夫矩陣擁有霍金斯-西蒙條件特征時，才會出現(xiàn)非負(fù)解。由此可得出定理：（1）給定n×n矩陣B（B=I-A),其中bij≤0(i≠j)，（2）給定一個n×1向量d≥0,則存在一個n×1向量x*≥0使得Bx*=d,當(dāng)且僅當(dāng)：>0,(m=1,2,...,n)，即里昂惕夫矩陣的所有順序主子式均為正。7、霍金斯-西蒙條件的經(jīng)濟意義，對于兩個產(chǎn)業(yè)的例子而言，里昂惕夫矩陣是：I-A=（1）>0a11<1,(2)>0a11+a12a21<1,經(jīng)濟意義是：a11測量第一種商品生產(chǎn)中使用自身作為投入的直接使用量，a12a21測量間接使

6、用量，給出了生產(chǎn)作為第一種商品的投入所需的第二種商品時要使用的第一種商品的數(shù)量。8、封閉模型。若投入--產(chǎn)出模型中的外生部門被納入該系統(tǒng)，并成為其中的一個產(chǎn)業(yè)部門，則該開放模型便會變成封閉模型。在封閉模型中，不再出現(xiàn)最終需求和基本投入，其位置由新構(gòu)建的產(chǎn)業(yè)部門的投入需求和產(chǎn)出所填補。其對應(yīng)的里昂惕夫矩陣為：（I-A)X=0