信號的時域分解和卷積積分

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1、第三章信號的時域分解§3-1引言線性系統(tǒng)分析方法，是將復(fù)雜信號分解為簡單信號之和（或積分），通過系統(tǒng)對簡單信號的響應(yīng)求解系統(tǒng)對復(fù)雜信號的響應(yīng)。在時域中，近代時域法將信號分解為沖激信號的積分，根據(jù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)通過卷積計算出系統(tǒng)對信號的響應(yīng)。而在頻域法中，我們將信號分解為一系列正弦函數(shù)的和（或積分），通過系統(tǒng)對正弦信號的響應(yīng)求解系統(tǒng)對信號的響應(yīng)。頻域在工程中也有很重要的意義。很多信號的特性與頻域都有很重要的關(guān)系。研究頻域可以得到很多具有實用價值的結(jié)論。如上章所述，通過信號分解的方法求解響應(yīng)要研究下面幾個問題：1）如何將任意信號分解為一系列正弦信號之和（或積分）。2）求系統(tǒng)對各個

2、正弦子信號的響應(yīng)，這個內(nèi)容在電路分析課程中已經(jīng)有詳細(xì)介紹；3）將各子信號的響應(yīng)相疊加，從而合成系統(tǒng)對激勵信號的響應(yīng)。本章將要研究的就是如何對信號進(jìn)行分解和合成?！?-2信號在正交函數(shù)集中的分解為了形象地說明信號的分解，首先我們討論矢量的分解。一、矢量的分解1、矢量的定義2、矢量運算：加，標(biāo)量乘法，矢量乘法3、矢量的分解：1）矢量的單矢量基的分解：c1A1近似矢量A——誤差盡可能小。A=c1A1+ε從幾何或者解析角度，都可以得到使誤差最小的系數(shù)為：AAc=11AA11其中的c1稱為矢量A和A1的相似系數(shù)。如果c=0（或AA=0），則表明A和A相垂直（又111稱為正交）。2）矢量

3、的多矢量基分解：將矢量表示成為一系列標(biāo)準(zhǔn)矢量（基）的線性組合：nA=c1A1+c2A2+...+cnAn=∑ciAii=1μ顯然，如果知道了標(biāo)準(zhǔn)矢量Ai和響應(yīng)的系數(shù)ci，就可以確定任意矢量。μ如何確定最佳的系數(shù)ci？情況比較復(fù)雜，對于特定的i而言，ci不僅與特定的Ai有關(guān)，與其它的標(biāo)準(zhǔn)矢量也有關(guān)系。但是如果矢量Ai兩兩正交，可以證明：AAic=iAAii4、標(biāo)準(zhǔn)矢量基的幾個限制條件：1）歸一化：標(biāo)準(zhǔn)矢量的模等于1——方便計算2）正交化：標(biāo)準(zhǔn)矢量兩兩正交3）完備性：可以不失真地組合出任意矢量二、信號的分解與矢量分解相似，我們也可以推導(dǎo)出信號分解。1、單個標(biāo)準(zhǔn)信號下的分解：在時間

4、區(qū)間(t1,t2)內(nèi)，用c1f1(t)近似任意函數(shù)f(t)，并使誤差進(jìn)可能小。1）如何衡量函數(shù)誤差的大??？可以采用方均誤21t22ε(t)=ε(t)dt差：∫tt?t121t2f(t)f(t)dt∫1t1c=1t2）最佳系數(shù)：2（也稱為函數(shù)f(t)f(t)dt∫11t1f(t)和f(t)的相似系數(shù)。1t23）如果c1=0（或∫tf(t)f1(t)dt=0），則稱f(t)1和f1(t)正交。4）如果f(t)和f1(t)是復(fù)函數(shù)，則其方均誤差為：21t221t2*ε(t)=∫ε(t)dt=∫ε(t)?ε(t)dtt?tt1t?tt12121最佳系數(shù)為：t2*f(t)f(t)dt∫

5、1t1c=1t2*f(t)f(t)dt∫11t12、多個標(biāo)準(zhǔn)信號下的分解：將信號表示為多個標(biāo)準(zhǔn)信號的線性組合：nf(t)=c1f1(t)+c2f2(t)+...+cnfn(t)=∑cifi(t)i=1這里的ci同樣難以確定。但是如果標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)fi(t)之間兩兩正交，則可以證明：t2*f(t)f(t)dt∫it1c=it2*f(t)f(t)dt∫iit1例：標(biāo)準(zhǔn)信號集：23k泰勒級數(shù)1,x,x,x,...,x,...，三角函數(shù)：1,cost,sint,cos2t,sin2t,...,coskt,sinkt,...3、對標(biāo)準(zhǔn)信號集的要求：t2*ftftdt=1）歸一化：∫i()i(

6、)1t1t2*ftftdt=，i≠j2）正交化：∫i()j()0t13）完備性：可以用其線性組合表示任意信號。完備正交函數(shù)集一般都包含無窮多個函數(shù)，例如：三角函數(shù)集，沃爾什函數(shù)集等。但在實際應(yīng)用中不可能用無窮多個，只可能用有限個函數(shù)，只能近似表示任意函數(shù)。附：矢量與函數(shù)的運算與分解比較：矢量函數(shù)加法A+Af(t)+f(t)1212標(biāo)乘c?Ac?f(t)21乘法A?At2*12f(t)?f(t)dt∫12t1=A?Acosα12正交A?A=0t2*12f(t)?f(t)dt=0∫12t1歸一A=1t2*∫f(t)?f(t)dt=1t1誤差ε=A?Aε(t)=f(t)?f(t)1

7、212誤差21t2εε2(t)=∫ε2(t)dt代價tt?t121函數(shù)系數(shù)A?At2*c=1f(t)f(t)dt1∫t1A?Ac=1111t2*f(t)f(t)dt∫11t1§3-3信號表示為傅利葉級數(shù)傅利葉級數(shù)是最常用的一種正交函數(shù)集。它在工程中有很廣泛的用途。一、三角函數(shù)形式的傅利葉級數(shù)這種正交函數(shù)集為：{}1,cos?t,sin?t,cos2?t,sin2?t,...,cosk?t,sink?t,...2π2π?==其中：Tt?t21或?qū)⒄缓瘮?shù)集表示為：{}cos(n?t),sin(n?t)n=