概率與統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)必備

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1、統(tǒng)計(jì)與概率基礎(chǔ)1.排列公式:mn!A「nlm)!(規(guī)定:0!=1)特別:A°=n!,這個(gè)是排列公式記憶的特值法的公式,即當(dāng)吋的排列值.n2.組合公式:冊(cè)T(規(guī)定:c「i)特別:mncAmAm,這個(gè)是組合公式記憶的特值法的公式nm3.組合性質(zhì):⑴「n⑵cm+n14.二項(xiàng)式定理:n+(ab)0=nZCan2n22rnrrnn=CabCab...Cab...CbnnnnIP:(a=Cab+++nr0其中:(r特別:(1n11)20斤2,5“)叫二項(xiàng)式系數(shù),+CV叫二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)?=J□012CCC一rr屮)n5.方差與標(biāo)準(zhǔn)差:

2、(1)標(biāo)準(zhǔn)差:(2)方差:6.頻率和概率n)2X(1)相同條件下重復(fù)n次試驗(yàn),事件出現(xiàn)次數(shù)n為事件A出現(xiàn)的頻數(shù).f(A)An為事件A出現(xiàn)的頻率.⑵事件A岀現(xiàn)的頻率f(A)穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)P(A),稱為事件A出現(xiàn)的概率.n(3)區(qū)別與聯(lián)系:頻率是概率的近似值;頻率是隨機(jī)的;概率是一個(gè)確定的數(shù);兩者第1頁都介于0?1之間.⑷隨機(jī)事件的概率公式:若一次試驗(yàn)共有n種等可能出現(xiàn)的結(jié)果。其中事件A包含的結(jié)果有m種,則事件A的概率為(>—PAn這里,n(fAn表示的是頻率,P(A)=—表示的是概率.n7.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)①概率的取值范圍是

3、0P(A)1②必然事件的概率為1,不可能事篩概率為O③若事件A和事件B互斥,貝IJ卩(柯B)=P(A)P(B)鼻為攪率的加法公式④若事件A和事件B對(duì)立,則P(A)從而P(A)1P(B)⑤相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率:P(AB)P(A)P(B)在概率計(jì)算中,經(jīng)常會(huì)用到對(duì)立事件的概念.8.古典概型在隨機(jī)試驗(yàn)中,若所有可能岀現(xiàn)的事件有限,且事機(jī)會(huì)相等,這種概率模型稱為古典概型.對(duì)于古典概型,事件A的概率為:AP(A)包含的基本事件的個(gè)數(shù)基本事件的總數(shù)7.幾何概型如果每個(gè)基本事件發(fā)生的概率與該事件區(qū)域的大小成比例,這種概率模型稱為幾何

4、概型.對(duì)于幾何概型,事件A的概率為尹A的區(qū)域大小'7試驗(yàn)結(jié)果所構(gòu)成的全部區(qū)域8.條件概率>設(shè)A、B為兩事件,=「R(A)0,則在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率為條件概率.記為P(B

5、A)P(AB)P(A)笛.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)則稱E(X)xp11⑴滿忙0(概率pi不小于0)⑵滿足(概率的總和為1)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,囁件發(fā)生的次數(shù)為X,在每次試驗(yàn)中輙發(fā)生的概率為p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,舊A恰好發(fā)生k次的概率為:kkn_kP(X=k)=Cp(1一p)k=0,億2,n12.離散型隨機(jī)變量X的分布列XXiX2■■■X■

6、■■XnpDiD2■■■n■■■Pn數(shù)學(xué)期望:離散型隨機(jī)變量的均值稱數(shù)學(xué)期望?=+++++xp...xp...XP為離散型隨機(jī)變量X的均值數(shù)學(xué)期望?22iinn13.離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)離散程度加權(quán)平均,反映隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度.D(X)稱為隨機(jī)變量x的方差?=E-2.D(X)(xE(X))pJ111d其算術(shù)平方飆X)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差亍屜(X).(X)D(X)44、幾種常見的離散型隨機(jī)變量的分布⑴兩點(diǎn)分布;⑵幾何分布;⑶超幾何分布;⑷二項(xiàng)分布;⑸正態(tài)分布15、兩點(diǎn)分布若隨機(jī)變量X的分布列為兩

7、個(gè)狀態(tài)萬0和仁對(duì)應(yīng)這兩個(gè)狀態(tài)的概率為(1-p)和P,則稱這P1-pp這里只有兩點(diǎn)取值「0和1,這記是禹點(diǎn)分如歹1.=數(shù)學(xué)期望:E(X)xpxp...xp...xpp1122iinn第3頁方差:V222D(X)=S(x-E(X))p=(0-p)(1~p)+(1-p)p=p(1-p)=iii1例如:拋硬幣?硬幣只有正反兩面,所以概率是兩點(diǎn)分布其出現(xiàn)正面的概率是P■2出現(xiàn)反面的概率是一(1P)2出現(xiàn)正面的數(shù)學(xué)期望是E(X)方差D(X)p(1P)46、幾何分布右隨;VdQAIJnPp(1p)p(1p)2p■■■(1'p)n1P分布列

8、以幾何級(jí)數(shù)的形式分布,所以稱為幾何分布列++…xpn+數(shù)學(xué)期望:=+++E(X)xpxp...xp1122i=+_+—E即:2P2p(1p)3p(1p)=+_+_+n1pL2=p[1+2(4+p)帥+p)一…n(12n1=p[k2%3q+??+nq-]2n1qSS[1-2q3q+…+nq+]t一。nP兩式相癱—-一=■(1q)S_1qqnn1...qn1p)]23n2q3q???nqnqnnq故:Sn—爭(zhēng)nqnnq(1q)1nnqn_kC一種.NM所以選取n件產(chǎn)品,恰有k件次品的方法共有kn_kCC一種.MNM1因?yàn)閝=4一

9、當(dāng)riT+乂時(shí),et—P1故:幾何分布列的數(shù)學(xué)期望E-=丄P方差:例如:籃球的投籃命中率為p,未命中率就是q=4—p.第1次投籃的命中率為p;第1次未中,第2次投籃的命中概率為qp;第2次還未中,第3次投籃的命中概率為q2p;…第k次未中,第k+1次投籃的命中概率為qkp.17、超幾何分布

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