多因素方差分析

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1、上一節(jié)我們討論了最簡(jiǎn)單的方差分析——單因素方差分析的原理與方法。在實(shí)際工作中，問(wèn)題常常比較復(fù)雜，要求我們同時(shí)考慮兩種甚至更多因素，以及這些因素共同作用的影響。多因素方差分析進(jìn)行多因素方差分析從理論上說(shuō)并無(wú)任何困難，但隨著因素?cái)?shù)的增加，普通方差分析的復(fù)雜性迅速增加，這種復(fù)雜性不僅表現(xiàn)在分析計(jì)算的繁復(fù)，更表現(xiàn)在所需實(shí)驗(yàn)次數(shù)呈現(xiàn)出幾何級(jí)數(shù)的增加上因此三或三因素以上方差分析較少用到；當(dāng)確實(shí)需要考慮這樣多因素時(shí)，我們常常轉(zhuǎn)而采用一些特殊的方差分析方法，例如正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。多因素方差分析繁復(fù)單因素方差分析相比，交互

2、作用是多因素方差分析中新的概念之一。當(dāng)一個(gè)因素的效應(yīng)明顯地依賴于其他因素的水平時(shí)，我們稱這些因素間有交互效應(yīng)。例如，由于人的體質(zhì)不同，藥物的療效也可能會(huì)有不同；不同的地施用同樣的肥料，增產(chǎn)效果也有不同，等等。模型類型及交互作用概念A(yù)1A2A3B1B2B3A1A2A3B2B3B1(a)無(wú)交互效應(yīng)(b)有交互效應(yīng)圖中每條曲線代表B因素的一個(gè)水平。若各曲線平行或近似平行，可認(rèn)為無(wú)交互效應(yīng)，否則為有交互效應(yīng)。以上只是一種直觀的判斷，在多因素方差分析的過(guò)程中，我們對(duì)交互作用的有無(wú)也可進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。交互效應(yīng)多因素方差

3、分析可分為固定模型，隨機(jī)模型及混合模型三類。這幾類模型的計(jì)算公式基本相同，但其數(shù)學(xué)模型，假設(shè)，統(tǒng)計(jì)量，結(jié)果的解釋等方面均有相當(dāng)大的差異。按因素類型進(jìn)行分類多因素方差分析可分為交叉分組和系統(tǒng)分組兩大類。這兩類計(jì)算公式也有些差別，下面我們以兩因素方差分析為例，介紹它們?cè)囼?yàn)設(shè)計(jì)方面的不同點(diǎn)。交叉分組：實(shí)驗(yàn)中，A因素的每個(gè)水平都會(huì)和B因素的每個(gè)水平相遇，因此A，B的地位是完全對(duì)稱的。這是最常見的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。按實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)分類先按A因素的a個(gè)水平分為a組，在每一組內(nèi)再按B的水平細(xì)分。一般A因素不同水平的組內(nèi)B因素的水

4、平可取不同值。例如研究PH值對(duì)酶活性的影響，不同的酶可能有不同的最適PH值，因此應(yīng)對(duì)每種酶設(shè)置PH值偏高、合適、偏低三個(gè)水平，而不同的酶(因素A的不同水平)PH值(因素B)的水平可能是不相同的。系統(tǒng)分組：1.固定效應(yīng)模型。首先考慮有重復(fù)的情況。線性統(tǒng)計(jì)模型為：xijk=?+?i+?j+(??)ij+?ijk,i=1,2,……a,j=1,2,……b;k=1,2,……n其中：?：總平均值；?i：A因素i水平主效應(yīng)；?j：B因素j水平主效應(yīng)；(??)ij：A因素i水平與B因素j水平的交互效應(yīng)；?ijk：隨機(jī)誤差

5、。兩因素交叉分組方差分析H01:?i=0,i=1,2,……aH02:βj=0,j=1,2,……bH03:(??)ij=0,i=1,2,……a,j=1,2,……b備擇假設(shè)為:HA:上述各參數(shù)中至少有一個(gè)不為0。(這實(shí)際上是三個(gè)備擇假設(shè)。)零假設(shè)方差分析的基本思想仍是總變差分解：即：SST=SSA+SSB+SSAB+SSe自由度：abn-1a-1b-1(a-1)(b-1)ab(n-1)總變差分解均方數(shù)學(xué)期望檢驗(yàn)兩個(gè)主效應(yīng)及一個(gè)交互效應(yīng)的下述三個(gè)統(tǒng)計(jì)量中，分母全部采用MSe即可。檢驗(yàn)H01，H02，H03的統(tǒng)計(jì)

6、量分別為：檢驗(yàn)H01，H02，H03的統(tǒng)計(jì)量從前述的各均方期望可知，只有當(dāng)各H0成立時(shí)，上述三個(gè)分子才是?2的無(wú)偏估計(jì)量，此時(shí)各統(tǒng)計(jì)量均服從F分布；若某個(gè)H0不成立，則相應(yīng)的分子將有偏大的趨勢(shì)，從而使對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量也有偏大的趨勢(shì)，因此可用F分布上單尾分位數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)。各效應(yīng)的估計(jì)值其中i=1,2……a,j=1,2,……b。計(jì)算公式計(jì)算排列如下表：表中最下一行是各列的平均，最右一列是各行的平均計(jì)算步驟變差來(lái)源平方和自由度均方統(tǒng)計(jì)量F主效應(yīng)A主效應(yīng)B交互效應(yīng)AB誤差總和方差分析表把計(jì)算所得結(jié)果填入上表后，再根據(jù)各

7、F統(tǒng)計(jì)量的自由度查出其F0.95及F0.99分位數(shù)，并將F計(jì)算值與相應(yīng)分位數(shù)相比，大于F0.95則在統(tǒng)計(jì)量F右上角標(biāo)一個(gè)“*”號(hào)；大于F0.99則再加一個(gè)“*”號(hào)。最后用一句話對(duì)上述方差分析的結(jié)果加以總結(jié)，即哪些主效應(yīng)或交互效應(yīng)達(dá)到顯著或極顯著水平，哪些不顯著F測(cè)驗(yàn)如果MSAB小于或約等于MSe，即FAB小于或約等于1，說(shuō)明此時(shí)交互作用不存在，在這種情況下也可把MSAB和MSe合并在一起(即把平方和和自由度都合并)作為σ2的估計(jì)量，這樣可以提高檢驗(yàn)的精確度。具體計(jì)算公式如下交互作用不存在然后可用作統(tǒng)計(jì)量F

8、A和FB的分母，對(duì)兩個(gè)主效應(yīng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。注意查表時(shí)分母自由度要相應(yīng)改變。原料種類(A)溫度（B）30℃35℃40℃1414923251113252462226182475950404338333682214183355350433847445533262930選擇最適發(fā)酵條件本題中顯然溫度是一個(gè)因素，原料種類是另一個(gè)因素。這兩個(gè)因素各有三個(gè)水平。由于它們的影響都是可控制、可重復(fù)的，因此都是固定因素。在同樣溫度、原料下所做的幾