51非簡并定態(tài)微擾理論

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1、5.1非簡并定態(tài)微擾理論一.定態(tài)薛定銬方程設(shè)體系的哈密頓算符刁不顯含時(shí)間，而且可以寫成H=+的本征值碼°)和本征函數(shù)$7是已知的或者很容易求解，和產(chǎn)⑼相比很小，可以看成是微擾。H=H(0)+Hf(5.1.1)片陀o)=(5.1.2)設(shè)方本征值是E”和本征函數(shù)幾，則冃咕Em(5.1.3)令0=201),(5.1.4)其中2是一個(gè)很小的實(shí)參量。所以En+幾Ef+…(5.1.5)(5.1.6)式中&°),肖界分別為體系未受微擾時(shí)的能量和波函數(shù)，稱為零級(jí)近似能量和零級(jí)近似波函數(shù)；久EJ,久分別為能量和波函數(shù)的一級(jí)修正，依此類推。將(5.1.1),(5.1

2、.4)?(5.1.6)代入(5.1.3)中,得(H(0)+仍⑴)(防+伽J+和y+???)=(曙)+倒)+咤)+???)宓。)+岸+幾昵2)+…)1:(片⑼_=—(H⑴_(tái)E*、/；：))(5.1.9)才：(00)一捋))0丫)=_(//⑴—礎(chǔ))?,：)+E$尢0)(5.1.10)引入2的目的已經(jīng)達(dá)到，略去2,將〃⑴理解為0,Ej,?J分別理解為能量和波函數(shù)的一級(jí)修正。先討論非簡并情況。片⑼的本征值&°)所屬的本征函數(shù)只有一個(gè)，它就是體系的零級(jí)近似波函(5.1.7)兄的同次幕系數(shù)相等，得2°：(W(o)-^o))^o)=0(5.1.6)數(shù)。設(shè)療）已

3、經(jīng)歸一化。為求碼）,以此3左乘，并積分，得W嚴(yán)（腫-即）沁）血=刖”憐沖一”嚴(yán)0汎。）血上式左邊f(xié)M嚴(yán)(冰)-即必S=f(H*-=0所以，能量的一級(jí)修正為刖訂此。）怕比°皿=帀（5?1?⑵為求沁），將必）按恥）的本征函數(shù)必°）展開，屮丁=工4慟：°）（5.1.13）/我們總可以選擇a,使得上面展開式中不含0丫）項(xiàng)，必）=工W°）（5.1.14）I上式求和號(hào)中右上角加一撇是表示求和求和時(shí)不包括/=料項(xiàng),將（5.1.14）代入（5.1.9）式中，得腫工呼切。）一硏工硏沙）=II即丫⑹-硏2＞陀°）=E恂丁一叱）I/以沁）如砒左乘上式兩邊，再積分,得弓

4、國％吃”“-E筈匕⑴幾=-[^H'^dr（5.1.15）”丁冃=H爲(wèi)（5.1.16）式中丹爲(wèi)稱為微擾矩陣元。所以（5.1.15）簡化為(5.1.17)（母。）一或憾）比爲(wèi),因此有E(?—0o)將(9-16)代入(9-13),得必戶氏（5.1.18）上式求和號(hào)中右上角加一撇是表示求和求和時(shí)不包括加項(xiàng),再求能量二級(jí)修正。把（5.1.14）代入（5.1.10）,并用M嚴(yán)左乘（5.1.10）式兩邊，再積分，得”嚴(yán)（腫-琦翊）必=吐工匕（忱-工⑺）盅+即II上式左邊為0?右邊第一項(xiàng)由于/H,也為0?則胡=弓匕⑴比廣弓l（o）_可。）所以體系的能級(jí)和波函數(shù)為

5、E,嚴(yán)E$）+H爲(wèi)+y歸爲(wèi)(5.1.19)nnm24-...E(o)_00)(5.1.20)必"+工'e（°）二⑹必"*…(5.1.21)微擾理論的適用條件是:￡?（0）—0。）?1,(&工昭)(5.1.22)例9?1?在0°）的表象中體系的能量算符H=0°）+卬,其中E.(0)0oa10E<0)A0w(0)=,A?即）<砂）?用微擾理論求能量本征值,精確到二級(jí)修正。解：Q可視為微擾。E?）=H；=0,砂）=丹；2=0?能量一級(jí)修正均為零。d⑵-￡(0)_￡(0)-00)_00)A2r—f（o）_尸（0）—Ro）_沁）所以，準(zhǔn)確到二級(jí)修正的能量

6、為E'~￡'（0）+E（o）t￡（o）例9?2—電荷量為q的線性諧振子受到恒定弱電場￡的作用，電場沿x軸方向，用微擾法求體系的能級(jí)和波函數(shù)。解：體系的哈密頓算符為A.H=-h2d22mdx2-qsx在弱電場情況下，最后一項(xiàng)可看做微擾。2mdx-2Hf=-qsx能量的一級(jí)修正為=^H'^dr=H'=-N；q￡fxH；(ar”"'dxJ—00所以琦=0H；m=V：(x>代入能量二級(jí)修正尸⑵=y/H'nnr(°)_r(°)2^1ha2s21n+1n+1n1hcohco_tl汽2

7、~2mcoL92_q?￡Imco2波函數(shù)的一級(jí)修正-q￡Jn+H爲(wèi)

8、(O)

9、石"+ie(o)_e(o)_h_2/7769

10、E上式對(duì)心1成立，對(duì)n=0,則上式括號(hào)中只有第一項(xiàng)，而無第二項(xiàng)。實(shí)際上能級(jí)移動(dòng)可以準(zhǔn)確求出AA2d2122H=H—mcoX—C1￡X(、2[q￡xr(mco丿?22oZinco12mdx22/?2d212=+—m22mdx22方2d212,2=7+—mcoxr2mdx''22m礦式中宀―羋。可見所討論的體系，仍然是一個(gè)線性諧振子,mco^29它的每一個(gè)能級(jí)都比無電場時(shí)線性諧振子能級(jí)低車。Zmco^嚴(yán)格求解EOI+baaE{)2+b—ciE—（E（*+b）E—（E?+b）—a=0-aE_（E°

11、2+b）Hi//=E//，即E01+/?aC「=E~caE（）2+b_C2__C2.q5E—（￡qj+b）—ci要使方程有非零解。則