淺談變力做功

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1、淺談變力做功范慧鵬在物理學(xué)中，功和能是十分重要的一部分。那么，對(duì)于求解力對(duì)物體做功的問題就顯得相當(dāng)重要。而功的定義W^FScos0僅適合與恒力做功的情況，對(duì)于變力做功又是如何解決的呢？下面便是求解變力做功的幾種常用方法。一.用定積分的方法。例1?如圖（一）示，一根輕繩跨過(guò)定滑輪系在質(zhì)量為ni的物體上，物體最初靜止在光滑的水平面上。用一大小為F,方向豎直向下的恒力作用在繩的另一端，使物體向右做加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)系在物體上的繩與水平方向的夾角由8i變到◎2時(shí),力對(duì)物體做的功是多少？已知滑輪頂點(diǎn)與水平面之間的距離為h（滑輪的大小及滑輪處的摩擦均忽略不計(jì)）。解：取物體為

2、研究對(duì)象，它受三個(gè)力的作用：重力G、拉力F、支持力N,如圖（二）:取水平向左為x軸正方向，正下方平面上的一點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，滑輪距平面的距離為h,因此，當(dāng)物體在某時(shí)刻處于位置x時(shí)，繩作用在物體上的拉力F在物體位移方向上的分量為：-Fx=Fcos9=/?丁川+/式屮e為物體在位置x時(shí)繩與水平面之間的夾角?？梢?，F(xiàn)x是隨X而變化的變力。所以，繩的拉力F對(duì)物體所做的功是變力做的功，可用積分的方法進(jìn)行計(jì)算。由于位移方向沿X軸負(fù)方向，因此，dr=-dx，拉力做的功為：XIW=(F-drFcos0-f2-Fxdx-FfXdx1卩V/?2+X2F^h2+x}2-^h2+x

3、22)1由三角關(guān)系得:娥02sin。?）但是，用定積分的方法求解起來(lái)太麻煩，除非在萬(wàn)不得已的情況下方使用。下面3是其它的幾種方法。一.變力做功等效為恒力做功。例2.如上題解：因?yàn)樵谖矬w運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，拉力對(duì)物體而言是變力，可人對(duì)繩子施加的力卻是恒力，且繩子質(zhì)擔(dān):、滑輪質(zhì)量及燦擦均不計(jì)，故.人拉繩所做的功就等于繩子拉力對(duì)物體所做的功。這樣，就將變力做功的問題轉(zhuǎn)化成了恒力做功的問題。在拉力從與水平方向成（兒夾角到（）2夾角的過(guò)程中，右端繩子下移的距離為：Ah=hsin0]sin02IV=F-Ah=Fh(——)則功為：sin0ism〃2rfl此可見，對(duì)于木題用此種

4、方法比用前面所介紹的定積分的方法簡(jiǎn)單得多。二.用動(dòng)能定理來(lái)求解。例3.如圖（三）示，在高為h的光滑水平而上，靜止放一質(zhì)量為in的物體，地面上的人用跨過(guò)定滑輪的細(xì)繩拉物體，在人從平臺(tái)邊緣正下方處以速度v勻速向右行進(jìn)s距離的過(guò)程屮，人對(duì)物體所做的功為多少？（設(shè)對(duì)人的拉力F及地面給人的靜摩擦力f。因?yàn)槿嗽谛凶咧惺莿蛩俚?，故人所受的合力處處?,所以，繩子對(duì)人的拉力F不但方向處處在改變，而且大小也在處處改變，則人拉繩了的力也在處處改變。那么人對(duì)物體所做的功又成了變力做功的問題。對(duì)物體而言，受3個(gè)力的作用：重力6、支持力N、繩子對(duì)物體的拉力F（即人對(duì)物體的拉力），但

5、G和N】均不做功，僅有F對(duì)物體做功，因此，只要把物體的初、末狀態(tài)的動(dòng)能求出，即可根據(jù)動(dòng)能定理求出拉力所做的功了。???vlO,巾與人運(yùn)動(dòng)過(guò)程中沿繩子方向的速度分量的大小一樣，如圖（四），v2=UCOS&=V.=則ylh2+s2mv2s22212h2+s22(/,+$2)???人對(duì)物休做的功為：一.用功能原理求解。例4.一質(zhì)量為ni的小球，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩懸掛于0點(diǎn)，小球在水平拉力的作用下從平衡位置緩慢地移到Q點(diǎn)，如圖（五）示，則力F對(duì)小求做的功是多少？解：小球受到三個(gè)力的作用：重力G、人對(duì)小球的拉力F、繩對(duì)小球的拉力T。如圖（五）:因?yàn)樾∏蚴呛芫徛匾苿?dòng)，所

6、以，所受合力處處為0,由于8角不斷在變化，故F及T為變力?？尚∏蛟谶\(yùn)動(dòng)過(guò)程中繩子拉力T與運(yùn)動(dòng)方向處處垂直不做功，所以，對(duì)小球而言，除重力G外就只有拉力F對(duì)其做功了，應(yīng)用功能原理，取P點(diǎn)為小球的零勢(shì)能點(diǎn)，則WF=mghQ一mghp=mgL(l-cos0)一.借助于來(lái)求功。例5?一人從10米深的井屮，用一個(gè)質(zhì)量為1千克的桶盛10千克的水勻速上提，由于水桶不斷漏水，每生高1米漏掉0.2T克的水，則把這桶水提上來(lái)要做多少功？（g取10米/秒X解：我們用縱、橫坐標(biāo)分別代表向上如圖（六）示，水桶開始離開水面即s二0牛，故開始在點(diǎn)A（0,110）o因?yàn)槊可?0米即s二

7、10米時(shí)，漏掉2千克的水,此時(shí)手的拉力為（11-2）X10=90牛,即結(jié)束點(diǎn)B（10,90）o依題，因每生高1米漏掉0.2T克的水，則拉力減小2牛，故k=AF/As=-0.2牛/米為一恒量，此k值就是連接A、B兩點(diǎn)的線段的斜率，則線段4B卜?面的陰影部分的“面積”就是把水桶從水面勻速提到井口的過(guò)程中人對(duì)水桶所做的功。即2Xi。焦耳=1°°焦耳對(duì)于理想氣體而言，求解做功的問題，利用P—V圖屮曲線與V軸所圍成的“面積”來(lái)定性地討論做功問題更是方便。AB例6.一定質(zhì)量的理想氣體從狀態(tài)A竽舊"亦D士宀人2工口屮，氣休對(duì)外做功是多少？卩/（圖七）VB解：氣休誰(shuí)對(duì)誰(shuí)做

8、功的問題，可從氣屯氣體（系統(tǒng)）對(duì)外做功，體積減小屬外對(duì)即為從A點(diǎn)及