運(yùn)用波利亞“怎樣解題表”

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1、運(yùn)用波利亞“怎樣解題表”有效實(shí)施數(shù)學(xué)解題教學(xué)（原載《中國數(shù)學(xué)教育》［高中版］2008年第11期）?時(shí)紅軍?嚴(yán)曉鳳?【摘要】在數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題是最重要的活動(dòng)形式之一。學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的形成、數(shù)學(xué)命題的掌握、數(shù)學(xué)思維方法和技能技巧的獲得以及學(xué)生智力的培養(yǎng)和發(fā)展,都必須通過解題教學(xué)來實(shí)現(xiàn)。而波利亞的“怎樣解題表”給我們提供了一種解題方法和套路，本文初步探討了如何運(yùn)用波利亞“怎樣解題表”有效實(shí)施數(shù)學(xué)解題教學(xué)。【關(guān)鍵詞】解題表解題教學(xué)數(shù)學(xué)問題喬治?波利亞（G.Polya,1887-1985年）是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、教育家、數(shù)學(xué)解題方法論的開拓者?他十分重視解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，并對解題方法進(jìn)行了多年

2、的研究和實(shí)踐，繪制出舉世聞名的“怎樣解題表”，被各國數(shù)學(xué)界奉為解題寶典.“怎樣解題”表的主要內(nèi)容，分為“弄清問題、擬訂計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧”四個(gè)階段。弄清問題，即明了已知數(shù)、未知數(shù)和條件;擬定計(jì)劃，即找出已知數(shù)與未知數(shù)Z間的聯(lián)系或者考慮輔助問題，并貝體擬定一個(gè)求解的計(jì)劃;實(shí)現(xiàn)計(jì)劃，即實(shí)現(xiàn)求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一步驟;回顧，即驗(yàn)算所得到的解，并將結(jié)杲和方法試著用于其他問題⑴。每一個(gè)階段又有一系列啟發(fā)性問句。譬如：未知數(shù)是什么，（在證明題中要求證什么），已知數(shù)據(jù)是什么、你以前見過它嗎、你是否見過相同的問題而形式稍有不同、你能利用它嗎、你能利用它的結(jié)果嗎、你能利用它的方法嗎、你能用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)

3、果嗎，等等。數(shù)學(xué)解題教學(xué)不同于平常的概念教學(xué)，它是運(yùn)用而面所學(xué)的基礎(chǔ)理論、基本方法和一些特殊方法來解數(shù)學(xué)問題的一種教學(xué)方法，它充分體現(xiàn)教師和學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì),是目麗素質(zhì)教育不可忽視的內(nèi)容。本文試圖對如何利用波利亞“怎樣解題表”有效實(shí)施數(shù)學(xué)解題教學(xué)作初步探討。一“弄清問題”階段，重述問題，教會(huì)學(xué)生形成正確的審題方法首先，必須讓學(xué)生了解問題的文字?jǐn)⑹?。已知是什?未知是什么?條件是什么?滿足條件是否可能?要確定未知數(shù)，條件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是才盾的？教師可以要求學(xué)生重新敘述題冃，并能夠指出問題的主要部分。其次，要教會(huì)學(xué)生形成止確的審題方法。數(shù)學(xué)問題的給出是通過“數(shù)學(xué)

4、語言”達(dá)到的。符號語言簡潔抽象，圖形語言直觀形象，而文字語言則通俗易懂。教師可以教學(xué)生利用數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換來培養(yǎng)學(xué)生好的審題習(xí)慣，形成正確的審題方法。例如：對于文字應(yīng)用題，可以指導(dǎo)他們借助圖像、圖表將題目中條件Z間的關(guān)系表示出來，將冗長拗I」的文字?jǐn)⑹?，直觀的體現(xiàn)在圖上，一看就能明口。這樣用簡潔明了的圖形呈現(xiàn)的視覺形象進(jìn)行問題表征，能簡化看似復(fù)雜的問題，減少工作記憶的負(fù)擔(dān)。再如：對于幾何題，要求他們盡量將題目中的已知條件標(biāo)在圖上，這樣文字與圖形相結(jié)合，就不用看一下題，看一下圖，分散時(shí)間和精力了。另外，還要注意引導(dǎo)學(xué)生挖掘已知條件與所求Z間的關(guān)系，特別是挖掘題中的隱含條件。如計(jì)算c曠”+d，

5、很多學(xué)生無從下手，也有學(xué)生用組合數(shù)公式展開后一看煩瑣而丟筆，其實(shí)在組合數(shù)公式c：中隱含著限制條3S-n<3n件加

6、的形成。有些教師愿意向?qū)W生暴霜自己的思維過程。當(dāng)學(xué)生問到某些較困難的問題時(shí)，他們愿意和學(xué)生共同思考，尋找解決問題的思想方法。學(xué)生們不但冇機(jī)會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)教師解決問題的思想方法，還冇機(jī)會(huì)了解，原來數(shù)學(xué)教師在解決問題時(shí)也會(huì)遇到挑戰(zhàn)，也會(huì)經(jīng)歷曲折與失誤。這對于學(xué)生形成正確的解題觀，樹立自信心是十分有益的。著名數(shù)學(xué)家希爾伯特在哥尼斯堡犬學(xué)學(xué)習(xí)吋，他常常把自己置于危險(xiǎn)困難境地，對要講的內(nèi)容總是現(xiàn)想現(xiàn)推。這樣一來，就使得同學(xué)們冇機(jī)會(huì)瞧一瞧高明的數(shù)學(xué)思維過程如何進(jìn)行，數(shù)學(xué)家是如何接受困難挑戰(zhàn)的。俗話說:失敗是成功之母，冇時(shí)候，失敗的教訓(xùn)往往能讓成功的過程更加深刻。例如，求兩數(shù)）厶2+4+JF+2x+10的

7、最值。第一次探索：解析式右邊含根式，常用方法是將兩邊同時(shí)平方，得y2=2兀2+2x+14+2厶$+4?7x2+2%+10,經(jīng)過一次平方后右邊仍然含冇根式，還得再次平方?？墒窃倨椒揭淮魏髸?huì)出現(xiàn)異項(xiàng)，運(yùn)算非常麻煩。因此不得不轉(zhuǎn)入第二次探索階段。第二次探索：通過觀察發(fā)現(xiàn)右邊的被開方式是二次式,能配方。配方的結(jié)果是y=+4+仏+1)2+9，進(jìn)一步變形為y=J(x-0)2+(0-2)2+血-(-1)『+(0-3)2,由此可看出，這個(gè)式子表示直