《怎樣解題》波利亞

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1、波利亞的《怎樣解題》——新浪：今日看點(diǎn)什么波利亞指出：解題的價值不是答案的本身，而在于弄清“是怎樣想到這個解法的？”、“是什么促使你這樣想，這樣做的？”這就是說，解題過程還是一個思維過程，是一個把知識與問題聯(lián)系起來思考、分析、探索的過程。波利亞認(rèn)為“對你自己提出問題是解決問題的開始”，“當(dāng)你有目的地向自己提出問題時,它就變成你自己的問題了”，“怎樣解題表”是《怎樣解題》一書的精華。波利亞的“怎樣解題表”將解題過程分成了四個步驟，具體步驟如下：第一，弄清問題未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)（指已知數(shù)、已知圖形和已知事項等的統(tǒng)稱）是什么？條件是什么？滿足條件

2、是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？畫張圖。引入適當(dāng)?shù)姆?。把條件的各個部分分開。你能否把它們寫下來？第二，擬定計劃找出已知數(shù)與求知數(shù)之間的聯(lián)系。如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題。你應(yīng)該最終得出一個求解的計劃。你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？看著未知數(shù)！試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題，你能應(yīng)用它嗎?你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？為了能利

3、用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？回到定義去。第3頁共3頁如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關(guān)的問題。你能不能想出一個更容易著手的有關(guān)問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對于未知能確定到什么程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西？你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其它數(shù)據(jù)？如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)和數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？你是否利用了所

4、有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個條件？你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？第三，實(shí)現(xiàn)計劃實(shí)現(xiàn)你的求解計劃，檢驗(yàn)每一步驟。你能否清楚地看出這一步是正確的？你能否證明這一步是正確的？第四，回顧反思你能否檢驗(yàn)這個論證？你能否用別的方法導(dǎo)出這個結(jié)果？你能否一下子看出它來？你能不能把這結(jié)果或方法用于其它的問題？下面舉個例子來說明波利亞《怎樣解題》的應(yīng)用?！靖呖祭}】：已知函數(shù)f(x)＝cos2(x＋)，g(x)＝1＋sin2x.(1)設(shè)x＝x0是函數(shù)y＝f(x)圖象的一條對稱軸，求g(x0)的值；(2)求函數(shù)h(x)＝f(x)＋g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間

5、．第一步：弄清問題。已知條件是什么？如本題中，已知兩個三角函數(shù)，可化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋h的形式．由已知推出：f(x)＝[1＋cos(2x＋)]，h(x)＝sin(2x＋)＋.第二步：制訂計劃。建立條件與結(jié)論之間的聯(lián)系。如本題中，因?yàn)閤＝x0是函數(shù)y＝f(x)的圖象的一條對稱軸，所以2x0＋＝kπ(k∈Z)，即2x0＝kπ－(k∈Z)．第3頁共3頁所以g(x0)＝1＋sin2x0＝1＋sin(kπ－)．當(dāng)k為偶數(shù)時，g(x0)＝1＋sin(－)＝1－＝；當(dāng)k為奇數(shù)時，g(x0)＝1＋sin＝1＋＝.第

6、三步：實(shí)現(xiàn)計劃。如本題中，由sinx、cosx的單調(diào)性，將“ωx＋φ”看作一個整體，轉(zhuǎn)化為解不等式問題．即：h(x)＝f(x)＋g(x)＝[1＋cos(2x＋)]＋1＋sin2x＝[cos(2x＋)＋sin2x]＋＝(cos2x＋sin2x)＋＝sin(2x＋)＋.當(dāng)2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)時，函數(shù)h(x)＝sin(2x＋)＋是增函數(shù)．故函數(shù)h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ－，kπ＋](k∈Z).第四步：反思回顧．檢驗(yàn)反思，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯點(diǎn)及解題過程每一步是否合理、充分，書寫是否規(guī)范．如本題中，由x0

7、求g(x0)時，由于x0中含有變量k，應(yīng)對k的奇偶進(jìn)行討論.第3頁共3頁