淺談用待定系數(shù)法求遞推數(shù)列的通項

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1、淺談用待定系數(shù)法求遞推數(shù)列的通項——湖北省潛江市總口中學(xué)羅先禮郵政編碼：433134手機(jī)：13451147812求數(shù)列通項公式的方法靈活多樣，特別是對給定的遞推公式求通項公式，觀察，分析推理能力要求較高，通?？梢詫f推公式進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列）來求解，常見的方法有觀察法，公式法，累乘法，累差法，選加法和Sn公式法，但對比較復(fù)雜的遞推公式，用上述方法難以求出其通項。而運(yùn)用待定系數(shù)法變換遞推公式中的某一項就是一種重要的轉(zhuǎn)化方法。下面結(jié)合我平時教學(xué)將用待定系數(shù)法求數(shù)列的通項歸納為以下幾種類型：類型1：an+1＝man+c(m≠1,mc≠0)例1：已知數(shù)列{an}中，a1=1，

2、an+1=2an+3，求數(shù)列{an}的通項an分析：這是一個遞推公式求數(shù)列的通項公式，這個遞推公式與我們剛學(xué)過的等差數(shù)列和等比數(shù)列有沒有一定的聯(lián)系呢？若將遞推公式的兩邊同時加上3，上式變?yōu)閍n+1+3=2(an+3)，且a1+3=4，則數(shù)列{an+3}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，an+3＝4×2n－1=2n+1,∴an=2n+1－3說明：這個題目通過對常數(shù)3的分解，進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕M合，可得到一個新的等比數(shù)列{an+3}，從而達(dá)到解決問題的目的。一般地，若一個數(shù)列的首項為a1，且an+1=man+c（m≠1,mc≠0），用待定系數(shù)法設(shè)an+1+k=m(an+k)，展開得an+1=man+mk－k

3、與遞推公式an+1=man+c比較得mk－k=c，則k=∴原遞推公式可化為an+1+=m(an+),則數(shù)列{an+}是首項為a1+，公比為m的等比數(shù)列，求出這個等比數(shù)列的通項就可以求出原數(shù)列{an}的通項公式。例2：數(shù)列{an}滿足a1=1，3an+1+an－6=0，求數(shù)列{an}的通項公式an分析：由3an+1+an－6=0得an+1=－an+2，設(shè)an+1+k=－(an+k)，展開比較得k=－,∴數(shù)列{an－}是首項為－，公比為－的等比數(shù)列，∴an－=－×(－)n－1∴an=－×(－)n－1小結(jié)：若一個數(shù)列相鄰兩項之間存在線性關(guān)系，則由這個遞推公式用待定系數(shù)法一定可以推出一個新的等比數(shù)列，

4、求出新的等比數(shù)列的通項，從而就可求出原數(shù)列的通項公式。類型2：an+1=man+pn+q（m≠1且m≠0，p≠0）若將類型1中的常數(shù)c改為項數(shù)n的一次式即pn+q，能否繼續(xù)用待定系數(shù)法求其通項呢？如：例3：在數(shù)列{an}中，已知a1=1，an+1=2an+2n－1，求數(shù)列{an}的通項公式an分析：若c是常數(shù)可推出{an+k}為等比數(shù)列，類比猜想以上遞推公式是否可推出數(shù)列{an+An+B}為等比數(shù)列呢？設(shè)an+1+A(n+1)+B=2(an+An+B)，展開得an+1=2an+An+B－A，與遞推公式比較得A＝2，B-A=－1∴B=1,因此原遞推公式可化為an+1+2(n+1)+1=2

5、(an+2n+1)，故數(shù)列{an+2n+1}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列。∴an+2n+1＝4×2n－1=2n+1，∴an=2n+1－2n－1。一般地，若一個數(shù)列的首項為a1，且an+1=man+pn+q（m≠0且m≠1,p≠0）用待定系數(shù)法由遞推公式可推出an+1+A(n+1)+B=m(an+An+B)，得出數(shù)列{an+An+B}為等比數(shù)列，求出其通項，從而可求出原數(shù)列的通項公式an。類型3：an+1=man+pn2+qn+r(m≠0且m≠1,p≠0)若將類型1中的常數(shù)c改為項數(shù)n的二次式pn2+qn+r,能否用待定系數(shù)法求其通項呢？如：例4：已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2a

6、n+3n2+4n+5，求數(shù)列{an}的通項公式an分析：類比類型2用待定系數(shù)法設(shè)an+1+x(n+1)2+y(n+1)+z=2(an+xn2+yn+z)展開得an+1=2an+xn2+(y－2x)n+z－x－y與遞推公式比較得x=3x=3y－2x=4∴y=10z－x－y=5z=18∴an+1+3(n+1)2+10(n+1)+18=2(an+3n2+10n+18)故數(shù)列{an+3n2+10n+18}是以a1+3×12+10×1+18=32為首項,以2為公比的等比數(shù)列,則an+3n2+10n+18=32×2n-1=2n+4，∴an=2n+4－3n2－10n－18。一般地，若數(shù)列的首項為a1，且an

7、+1=man+pn2+qn+r（m≠0且m≠1，p≠0）用待定系數(shù)法可將遞推公式分解為an+1+x(n+1)2+y(n+1)+z=m(an+xn2+yn+z)，從而得到數(shù)列{an+xn2+yn+z}是以a1+x+y+z為首項，以m為公比的等比數(shù)列，從而使問題得以解決。類型4：an+1=man+P·qn（mpq(m－1)(q－1)≠0且m≠q）若將類型1的常數(shù)c改為項數(shù)n的指數(shù)式P·qn，又如何用待