第5章+ARMA模型

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1、第5章ARMA模型應(yīng)用一、ARMA模型概述二、隨機(jī)時(shí)間序列的特征分析三、模型的識(shí)別與建立四、模型的預(yù)測(cè)五、隨機(jī)時(shí)間序列模型的檢驗(yàn)一、ARMA模型概述ARMA模型是一種常用的隨機(jī)性時(shí)間序列模型，由BoX、Jenkins創(chuàng)立，亦稱為B-J方法，它是一種精度較高的短期預(yù)測(cè)方法。ARMA模型包括：自回歸模型AR(p)、移動(dòng)平均模型MA(q)、自回歸移動(dòng)平均模型ARMA(p,q)。隨機(jī)過(guò)程概念及其數(shù)字特征例：將一個(gè)物體的長(zhǎng)度進(jìn)行多次精密測(cè)量，可以得到一串?dāng)?shù)(單位：mm)：74.5274.5474.49如果再進(jìn)行另一批測(cè)量，又得到另一串?dāng)?shù)：74.5374.5174.50進(jìn)行一系列測(cè)量所得到的各串?dāng)?shù)

2、一般是不同的，這是由于測(cè)量的各種隨機(jī)因素引起了隨機(jī)誤差。第一批測(cè)量的第一個(gè)值74.52，第二次測(cè)量的第一個(gè)值74.53等等，可以看著某隨機(jī)變量X1所取的值；一般，對(duì)于每批測(cè)量的第i個(gè)值，可以看著隨機(jī)變量Xi所取的值。X1,X2,…,Xn,…稱為隨機(jī)序列。74.5274.5474.49,…稱為隨機(jī)序列的現(xiàn)實(shí)。我們知道，要刻畫(huà)一個(gè)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征，主要有均值、方差等。要刻畫(huà)隨機(jī)過(guò)程{Xt,t∈T}主要統(tǒng)計(jì)特征，也要考慮其數(shù)字特征，主要有均值函數(shù)、方差函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)等。1.均值函數(shù)給定隨機(jī)過(guò)程{Xt,t∈T}，固定t,Xt是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)其均值為μt=E(Xt)稱為隨機(jī)過(guò)

3、程的均值函數(shù)。μt表示隨機(jī)過(guò)程Xt在各個(gè)時(shí)刻的擺動(dòng)中心，t變化時(shí)，μt刻畫(huà)了隨機(jī)過(guò)程Xt變化的平均趨勢(shì)。2.方差函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)固定t，設(shè)Xt的方差為σt2，σt2=E[(Xt-μt)2]稱為隨機(jī)過(guò)程Xt的方差函數(shù)。它刻畫(huà)了隨機(jī)過(guò)程對(duì)于均值μt的偏離程度。3.自協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)對(duì)于隨機(jī)過(guò)程Xt，取定t,s∈T，定義其自協(xié)方差函數(shù)為γt,s=Cov(Xt,Xs)=E[(Xt-μt)(Xs-μs)]刻畫(huà)了隨機(jī)過(guò)程Xt在時(shí)刻t和時(shí)刻s處取值的相關(guān)程度。自相關(guān)函數(shù)如果隨機(jī)序列Xt滿足下列條件：(1)均值E(Xt)=?是與時(shí)間t無(wú)關(guān)的常數(shù)；(2)方差Var(Xt)=?2是與時(shí)間t無(wú)關(guān)的常數(shù)

4、；(3)協(xié)方差Cov(Xt,Xt+k)=?k是只與時(shí)期間隔k有關(guān)，與時(shí)間t無(wú)關(guān)的常數(shù)；則稱該隨機(jī)時(shí)間序列是平穩(wěn)的設(shè)平穩(wěn)序列{εt}的自協(xié)方差函數(shù)γk，k=0時(shí)為常數(shù)σ2，k不為0時(shí)，γk=0，則稱{εt}為平穩(wěn)白噪聲序列，即平穩(wěn)白噪聲序列的方差是常數(shù)，且對(duì)任意兩個(gè)不同時(shí)點(diǎn)之間是不相關(guān)的。平穩(wěn)白噪聲是最基本的一種平穩(wěn)序列。1、AR(p)模型考慮p階自回歸模型AR(p)AR(p)的特征方程可以證明，如果該特征方程的所有根在單位圓外（根的模大于1），則AR(p)模型是平穩(wěn)的。2、MA(q)模型有限階移動(dòng)平均模型總是平穩(wěn)的。當(dāng)滯后期大于q時(shí)，X的自協(xié)方差系數(shù)為0。3、ARMA(p,q)模型A

5、RMA(p,q)平穩(wěn)性取決于AR(p)的平穩(wěn)性。當(dāng)AR(p)部分平穩(wěn)時(shí)，則該ARMA(p,q)模型是平穩(wěn)的，否則，不是平穩(wěn)的。三、隨機(jī)時(shí)間序列的特性分析所使用的工具主要是時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)（ACF）及偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）。所使用的工具主要是時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)（ACF）及偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）。要想對(duì)時(shí)間序列建立一個(gè)適當(dāng)?shù)哪Ｐ?，必須?duì)該序列的特點(diǎn)有所了解。一般地，可以從時(shí)間序列的隨機(jī)性、平穩(wěn)性和季節(jié)性三方面考慮。1.時(shí)序的隨機(jī)性如果一個(gè)時(shí)間序列是純隨機(jī)序列，意味著序列沒(méi)有任何規(guī)律性，序列諸項(xiàng)之間不相關(guān)，即序列為白噪聲序列，其自相關(guān)函數(shù)應(yīng)該與0沒(méi)有顯著差異。在Eviews中，如果

6、幾乎所有自相關(guān)系數(shù)都落入隨機(jī)區(qū)間，可認(rèn)為該序列是純隨機(jī)的。2.平穩(wěn)性在Eviews中，如果序列的自相關(guān)系數(shù)很快地趨于0，即落入隨機(jī)區(qū)間，則時(shí)序是平穩(wěn)的，否則非平穩(wěn)的。在B-J方法中，只有平穩(wěn)的時(shí)間序列才能直接建立ARMA模型，否則必須經(jīng)過(guò)適當(dāng)處理使序列滿足平穩(wěn)性的要求。在現(xiàn)實(shí)中，常見(jiàn)的時(shí)間序列多具有某種趨勢(shì)，但很多序列通過(guò)差分可以平穩(wěn)。如果原序列非平穩(wěn)，經(jīng)過(guò)d階差分后平穩(wěn)，則原序列模型可以表示為ARMA(p,d,q)模型。一般地，差分階數(shù)不超過(guò)2.3.時(shí)序的季節(jié)性判斷時(shí)序季節(jié)性的標(biāo)準(zhǔn)是：月度數(shù)據(jù)考察滯后期k=12,24,36,…時(shí)點(diǎn)自相關(guān)系數(shù)是否與0有顯著的差異。若自相關(guān)系數(shù)與0無(wú)顯著

7、性差異，序列不存在季節(jié)性，否則存在季節(jié)性。實(shí)際問(wèn)題中常會(huì)遇到季節(jié)性和趨勢(shì)性同時(shí)存在的情況，這時(shí)必須事先剔除序列趨勢(shì)性，再用上述方法識(shí)別序列的季節(jié)性。包含季節(jié)性的時(shí)間序列也不能直接建立ARMA模型，須進(jìn)行季節(jié)性差分消除序列的季節(jié)性，差分步長(zhǎng)應(yīng)與季節(jié)周期一致。一般地，如果序列經(jīng)過(guò)D階周期長(zhǎng)度為s的差分，季節(jié)性基本消除，建立的模型為ARMA(p,d,q)(P,D,Q)s.其中P為季節(jié)自回歸階數(shù)，Q是季節(jié)移動(dòng)平均階數(shù)。3.時(shí)間序列模型的識(shí)別所謂隨機(jī)時(shí)間