2、經(jīng)濟變化趨勢的數(shù)學描述

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1、第二章經(jīng)濟變化趨勢的數(shù)學描述變量的變化趨勢始終是人們關心的一個重要問題。例如，隨著時間的推移，人口的數(shù)量是無限地增大，還是趨于一個常數(shù)；現(xiàn)在世界的氣溫在逐年升高，100年后的氣溫又將是多少；由于人類不斷地開掘，地球上的資源是否會枯竭；由于激烈的經(jīng)濟競爭，亞洲金融危機（各種經(jīng)濟指標）是否還會出現(xiàn)等等。極限正是研究變量趨勢的一個重要手段，它是從靜認識動、從近似認識精確，從有限認識無限的數(shù)學方法，其思想貫穿于整個微積分，是大學數(shù)學的基礎，必須很好掌握。這一章的主要內(nèi)容是極限和連續(xù)。連續(xù)性是函數(shù)的一種重要性態(tài)，與以后學到的可微性、可積性有密

2、切關系。§2.1從一個經(jīng)濟問題談起由一般市場規(guī)律，不考慮科技、政策等其他因素影響，一種商品若供大于求，則價格就會降低。隨著價格的降低，需求量會隨之上升，同時供給量隨之減少。當價格降到一定程度后，就會出現(xiàn)明顯供不應求的局面，這時價格會上升。隨著價格的上升，需求量會隨之降低，同時供給量隨之增加。當價格升到一定程度后，會出現(xiàn)明顯供大于求的局面，價格又會降低……如此循環(huán)往復，商品的價格會圍繞“價值”上下波動。設某一年某一種商品的價格和供給量分別為。和0,從這一年開始，第刃年的價格和供給量分別為P”和Qno由以上的分析知，第一年的供給量影響第

3、一年的價格，第一年的價格影響第二年的供給量,即P1是01的函數(shù)，02是卩1的函數(shù),P"是Qh的函數(shù),Q小是P"的函數(shù),為簡單起見，假設它們都是線性函數(shù)：pn=a~bQn9Qn^=-c+dpn其中a、b.c、d是正數(shù)，由商品及市場確定。由這兩個函數(shù)式可得pn^=a+bc-bdpn,從而有a+bc加+1+（-加）Up—a+bc加+1如果要討論這種商品的變化趨勢，即看隨著〃的增長商品價格怎樣的浮動過程，需要看當乃越來越大時S的變化情況。例如，假設山竺=8,0=10,即內(nèi)=8+2?（-加）"。這時價格的bd+1浮動與加的取值有關：若bd

4、<9例如加=%,則卩〃=8+2（-％）〃。對應的數(shù)列為：10,7,8.5,7.75,8.125,7.9375,…隨著時間的增加，價格會圍繞8上下波動且無限接近于8;若bd=,則p“=8+2?（-1）"。對應的數(shù)列為:10,6,10,6,10,6,…隨著時間的增加，價格會圍繞8做周期性波動；若bd>l,例如bd=2,則從=8+2?（-2）"。對應的數(shù)列為:10,4,16,-8,40,-56,…出現(xiàn)了負價格，這與實際不符，從理論上來說，其絕對值無限增大。實際中經(jīng)常會遇到這種變化趨勢的分析，下面我們詳細討論。一、數(shù)列的極限劃，…稱為數(shù)

5、列，記為其中un【定義】無窮多個數(shù)按順序排成一列⑷，U2,?稱為通項或一般項，n稱為下標。137—9—,—248（3）｛（-1）心｝1,-1,1,…，@｛ln訃0,In2,ln3,---o數(shù)列｛“〃｝可以看作特殊的函數(shù)，稱為下標函數(shù)，其表達式_#〃）=給即為通項公式。作為特殊的函數(shù)，數(shù)列也可以討論函數(shù)的一些基本性質，如單調性、有界性等（當然由于定義域的原因，奇偶性、周期性無需再談了）?！径x】對數(shù)列仏｝,若對也wN,都有un

6、3A/>0,使對VhgTV,有un

7、給｝的極限或收斂于4,記為Umun=A或知同時稱數(shù)列仙｝收斂；若｛%”｝沒有>00極限,則稱｛?”｝發(fā)散。（_1V2n-1例如lim^-=0,lim=1。〃一>8h/：—?

8、為進一步在數(shù)學上進行推理和計算，需要把定義用嚴格的數(shù)學語言和數(shù)學式子表示。"—1為此，我們以怛亍“為例進行分析。為直觀起見，我們寫出前面幾項來觀察。n12345670.50.750.8750.93750.968750.9843750.