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《淺談立體幾何問題的向量解法》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、淺談立體兒何問題的向量解法廿肅省白銀市平川屮學(xué)賈鳳麟［內(nèi)容摘要］空間向量的引入為求立體幾何的空間角和距離問題、證線血平行?垂直以及解決立體幾何的探索性試題捉供了簡便、快速的解法。它的實(shí)用性是其它方法無法比擬的,因此應(yīng)加強(qiáng)運(yùn)用向量方法解決兒何問題的意識(shí)，提高使用向量的熟練程度和自覺性，注意培養(yǎng)向量的代數(shù)運(yùn)算推理能力，掌握向量的基木知識(shí)和技能，充分利用向量知識(shí)解決圖形中的角和距離、平行與垂直問題。［關(guān)鍵詞］向量高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材引進(jìn)了空間向量得內(nèi)容，并運(yùn)用向量理論來處理立體幾何問題中的“點(diǎn)、線、血”等問題。引入空間向量，用向量代數(shù)來處理立休幾何問題，休現(xiàn)了“數(shù)”與“形
2、”的結(jié)合，淡化了傳統(tǒng)立體兒何教材屮的“形”到“形”的推理方法，從而降低了思維難度，使解題變得程序化，學(xué)生易于接受，這是向量解立體兒何問題得獨(dú)到之處。利用空間向量可以解決的立體幾何問題主要有以下幾方血：（1）利用兩個(gè)向量共線的條件和其面向量理論，可以證明有關(guān)線線平行，線面平行，而而平行問題；（2）利用兩個(gè)向量垂直的充要條件可以證明有關(guān)線線，線而，而而垂直問題；（3）利用向量的夾角公式可以求解有關(guān)角的問題；（4）利用向量的模及向量在單位向量方向上的射彫可以求解有關(guān)距離問題。應(yīng)用向量知識(shí)解題，特別是立體幾何問題，思維清晰，目標(biāo)明確，易于掌握。本文舉例介紹上述問題的向量
3、方法。一、用向量處理平行問題例1底血是止三角形的斜棱柱ABC-A.B.C,中，D為AC的中求證：AB』平面C、BD證明：設(shè)AB=aAC=bAA,=c分析：欲證AB』平面C0D,可證ABjDBDC］共血?jiǎng)t巫i+cDB.AB-Ab^.lb反產(chǎn)反+冼"b+cDB+DC]=a+c=AB】???3住平面C/D.?.ABJI平面C、BD二、處理垂直問題例2（2000年全國高考題）己知平行六而體ABCD-A.B.C.D,的底
4、ftiABCD是菱形,且ZCiCB=ZCiCD=ZBCB=60°(1)求證CC}±BD請(qǐng)證明證明：（1）設(shè)CO=aCB=bCD（2）當(dāng)——的值為何值時(shí),
5、CC,依題意
6、a
7、二
8、b
9、,設(shè)窈、CB.疋中兩兩夾幷為&,于是BD=CD-CB=aCC]?BD=c(a-b)=ca-cb=c?acos&■b?ccos0=0???CC{1BD解(2)vBD丄CC】BD丄ACBD丄平面ACC/,BD丄AC要使AC丄平而C、BD只需A?丄C￡即ACC}D=QA}CC]Z)=(a+b+c)(a-c)=a+ab-bc-c2=ac2+b
10、
11、a
12、cos-
13、b
14、?
15、ccos0—J_
16、j?_b.c+b~-c-"22=-(3
17、b
18、+2
19、c
20、)(
21、b
22、-
23、c
24、)2rr所以當(dāng)
25、b
26、=
27、c
28、時(shí)，即一=1時(shí)A.CC,D=Q三、處理角的問題對(duì)于空間向量a
29、>b有c°s〈a，F(xiàn)，利川這一結(jié)論我們可以較方便地處理立體兒何問題小的角的問題.例3（1988年高考）在棱長都是m的四而體ABCD中，E、F分別是棱AD、BC的中點(diǎn)，連接AF、CE,求異面直線AF與CE所成的和。解：設(shè)AB=aAC=bAB=c,由已知得
30、a
31、=
32、b
33、=c
34、=m—1—1AF=-(a+b)CE=-c?b22AFCE=-(a+b)-c-b22—
35、a
36、
37、c
38、cos(a,c)+—
39、b
40、
41、c
42、cos(b,c)-—
43、a
44、
45、b
46、cos(a,2288422_丄2/.cos〈AF,CE〉=AFCE_~2_21142???異面直線AF,CE所成的角為arccosy例4
47、（甸蔚內(nèi)）如圖，在底面是直角梯形的四面體S-ABCD中，ABC二90平面ABCD,SA=AB=BC=1AB二丄求平面呢曲所成佈的3E切值2解：如圖建立直角坐標(biāo)系,則B（。丄0）,時(shí)0,0心丄0）,S（0,（M）—1—，—1__AD=(-,0,0),5C=(1,1,-1),SO=(-,0,-1),???SA丄平面MD,/.AD丄22T所以AD是平而SAB的一個(gè)法向量。設(shè)平而SCD的一個(gè)法向量n=（兀,y,z）兀+y-z=0-x-z=0n12CSC一一,=>〃丄SDn^SC=Qn^SD=0令z=1/=(2,-1,1),cos=ADtiAD^nSABx=
48、2zy=-z平面SCD與平而SAB所成的二而角的正切值為—2V6—-—,/.tanvAZ),n>=3四、解決有關(guān)距離問題立體兒何中涉及到的距離問題較多，如兩點(diǎn)之間的距離，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)、線到平而的距離，兩條異面直線的距離等，若川向量來處理這類問題，則思路簡單，解法固定。例5（1991年全國高考）已知ABCD是邊長為4的止方形，E、F別是佔(zhàn)、AD的中點(diǎn)，GC垂直7ABCD所在的平曲，且GC=2.求點(diǎn)B到平面EFG的距離.解：以AD、AB、AS為x、y、z為軸，以AB為單位，建立冇?角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為:G（0.0.0）B（0.4.0）A（4.4.0）D(4
49、.0.2)E(4.2.0
