立體幾何典型問(wèn)題的向量解法資料

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1、立體幾何中幾類(lèi)典型問(wèn)題的向量解法空間向量的引入為求立體幾何的空間角和距離問(wèn)題、證線面平行與垂直以及解決立體幾何的探索性試題提供了簡(jiǎn)便、快速的解法。它的實(shí)用性是其它方法無(wú)法比擬的，因此應(yīng)加強(qiáng)運(yùn)用向量方法解決幾何問(wèn)題的意識(shí)，提高使用向量的熟練程度和自覺(jué)性，注意培養(yǎng)向量的代數(shù)運(yùn)算推理能力，掌握向量的基本知識(shí)和技能，充分利用向量知識(shí)解決圖形中的角和距離、平行與垂直問(wèn)題。一、利用向量知識(shí)求點(diǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)到線，點(diǎn)到面，線到線，線到面，面到面的距離（1）求點(diǎn)到平面的距離除了根據(jù)定義和等積變換外還可運(yùn)用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一個(gè)法向量

2、的坐標(biāo)，再求出已知點(diǎn)與平面內(nèi)任一點(diǎn)構(gòu)成的向量的坐標(biāo)，那么到平面的距離（2）求兩點(diǎn)之間距離，可轉(zhuǎn)化求向量的模。（3）求點(diǎn)到直線的距離，可在上取一點(diǎn)，令或的最小值求得參數(shù)，以確定的位置，則為點(diǎn)到直線的距離。還可以在上任取一點(diǎn)先求，再轉(zhuǎn)化為，則為點(diǎn)到直線的距離。(4)求兩條異面直線之間距離，可設(shè)與公垂線段平行的向量，分別是上的任意兩點(diǎn)，則之間距離例1：設(shè)，求點(diǎn)到平面的距離例2：如圖，正方形、的邊長(zhǎng)都是1，而且平面、互相垂直。點(diǎn)在上移動(dòng)，點(diǎn)在上移動(dòng)，若。A(O)BDCxEFNMyz（Ⅰ）求的長(zhǎng)；（Ⅱ）當(dāng)為何值時(shí)，的長(zhǎng)最?。唬á螅┊?dāng)長(zhǎng)最小

3、時(shí)，求面與面所成的二面角的大小zABCDMNxyzzzz例3：正方體的棱長(zhǎng)為1，求異面直線與間的距離ABCDxyz例4：如圖，在長(zhǎng)方體中，求平面與平面的距離。點(diǎn)評(píng)：若是平面的法向量，是平面的一條斜線段，且，則點(diǎn)到平面的距離，平行平面之間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，變?yōu)樾本€在法向量上的射影。二、利用向量知識(shí)求線線角，線面角，二面角的大小。（1）設(shè)是兩條異面直線，是上的任意兩點(diǎn)，是直線上的任意兩點(diǎn)，則所成的角為（2）設(shè)是平面的斜線，且是斜線在平面內(nèi)的射影，則斜線與平面所成的角為。設(shè)是平面的法向量，是平面的一條斜線，則與平面所成的角為

4、。（3）設(shè)是二面角的面的法向量，則就是二面角的平面角或補(bǔ)角的大小。例5：在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別是的中點(diǎn)，ABCDEFGxyz（1）求直線所成角；（2）求直線與平面所成的角，（3）求平面與平面所成的角例6：如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，AD=PD，E，F(xiàn)分別CD、PB的中點(diǎn).ABCDEFxyzP（Ⅰ）求證：EF平面PAB；（Ⅱ）設(shè)AB=BC，求AC與平面AEF所成角的大小.ABCPDExyz例7：如圖，，，求二面角的大小。點(diǎn)評(píng)：如果分別是二面角兩個(gè)面內(nèi)的兩條直線，且，則二面角的大小為SBACDzxy例8：如圖

5、，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，．求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值．點(diǎn)評(píng)：用向量知識(shí)求二面角的大小時(shí)，是將二面角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角問(wèn)題，（1）當(dāng)法向量的方向分別指向二面角內(nèi)側(cè)與外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于法向量的夾角的大小。（2）當(dāng)法向量的方向同時(shí)指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于法向量的夾角的補(bǔ)角。三、利用向量知識(shí)解決平行與垂直問(wèn)題。例9：如圖,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，（I

6、）求證：AC⊥BC1；（II）求證：A1C//平面CDB1；點(diǎn)評(píng)：轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化平行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：面面平行線面平行線線平行；例10．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AD上移動(dòng).（1）證明：D1E⊥A1D；（2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD1的距離；（3）AE等于何值時(shí)，二面角D1—EC—D的大小為..ADBCDDD四、利用向量知識(shí)解決立體幾何中的探索性問(wèn)題。例11．如圖，在直三棱柱中，（1）求證（2）在上是否存在點(diǎn)使得（3）在上是否存在點(diǎn)使得五、專(zhuān)題突破：ACBD1、如圖：已知二

7、面角的大小為，點(diǎn)于點(diǎn)，，且，求（1）直線所成角的大小，（2）直線的距離。2、如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E、F分別是AB、PB的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：EF⊥CD；（Ⅱ）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論；（Ⅲ）求DB與平面DEF所成角的大小.ABCA1B1C1M3、如圖,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB=90°，CB=1,CA=,AA1=,M為側(cè)棱CC1上一點(diǎn),．（1）求證:AM^平面；（2）求二面角B－AM－C的大小；（3）求點(diǎn)C到平面ABM

8、的距離．4、如圖，是正四棱柱，側(cè)棱長(zhǎng)為3，底面邊長(zhǎng)為2，E是棱的中點(diǎn)。（Ⅰ）求證：//平面；（Ⅱ）求二面角的大?。á螅┰趥?cè)棱上是否存在點(diǎn),使得平面？證明你的結(jié)論。5、如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2.（I）證明：A