矢量在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

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1、矢量在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用權(quán)國治（西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)系98級(jí)乙班）摘要：利用矢量，對(duì)以把三維歐氏空間的幾何結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)的代數(shù)化，從血使某些初等數(shù)學(xué)問題更簡潔地得以解決。木文就初等數(shù)學(xué)屮常見的幾類問題，給出了用矢暈法解決的新思路，新途徑.關(guān)鍵詞：矢量;內(nèi)積;外積;混和積;異面直線;軌跡初等數(shù)學(xué)中遇到的許多問題，諸如共點(diǎn)、共線、共面問題；證明（求）異面直線（距離）；求軌跡方程；證明初等數(shù)學(xué)公式；證明不等式；計(jì)算角、面積、體積等。用初等方法證明或計(jì)算主要是通過運(yùn)用自身的一些性質(zhì)定理和判定定理而進(jìn)行的，而

2、對(duì)于毎一內(nèi)容的性質(zhì)和判別法乂有若干，故解決時(shí)必然而臨如何正確選擇和靈活運(yùn)用這些定理，這就使得這類問題的初等證明（或計(jì)算）往往具有難度大、技巧性強(qiáng)、不易掌握等特點(diǎn)；另外，對(duì)一些定理、公式的證明往往都要添加較多的輔助線，這樣的技術(shù)因題而異，變幻莫測(cè)，證明常常顯得煩瑣復(fù)雜。而向量的引進(jìn)將空間結(jié)構(gòu)代數(shù)化，從而將這些初等數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成向量關(guān)系式的簡單證明或計(jì)算。兼之矢量的自由性特點(diǎn)，我們利用矢量的線性運(yùn)算、矢量的乘法（內(nèi)積和外積）和矢量的混合積,使得對(duì)于這些初等問題的處理別開生面。木文就初等數(shù)學(xué)中上述問題，給出了用矢

3、量法解決的新思路，新途徑。（一）證明不等量關(guān)系、不等式幾何屮的不等量關(guān)系遇到較多的是長度、角度的不等量。引進(jìn)向量后證明長度的不等量可以歸結(jié)為證明冇關(guān)線段所對(duì)應(yīng)的向量的?；蚱淦椒讲坏?■■92即若IAB1^1CDI或則ABhCD?證明角度關(guān)系的不等量時(shí)，只要用向量夾角公式cosZ(a,6)=廠罕IaAb分別求出兩角的余弦后進(jìn)行比較即可(余弦值大的夾角反小)?值得一?提的是，證明長度的不等與證明角度的不等可以相互轉(zhuǎn)換，例如,在已知三角形4BC中，要證AB〉A(chǔ)C,可改證cosZ(^4,BC)>cosZ(G4

4、,CB);同樣，要證乙4CB〉ZABC,則可證

5、xfi

6、>

7、AC

8、或忑2〉才乙〔例1設(shè)A,B,C,D是空間中的四點(diǎn).求證：AC1+BD2+AD1BC1>AB2+CD2.證明：(如圖1)設(shè)AB=a,AC=bfAD=cAC2+BD2+AD2+BC2-AB2-CD2=b2+(c-a)2+c2+(b-a)2-a2-(c-b)2-a1+b2+c2-2ac-lab-2bc=(a-b-c)2>0,AC2+BD1+AD1+BC1>AB2+CD2.例2在AABC中，AB>AC,BE,CF分別是AC,AB邊上的中線，且圖2BE

9、,CF交于點(diǎn)O,求證：ZOBC*1BE=BA+—AC,CF=CA+-AB,所以22同理，2—*1—21BO=-(BA+-AC)=-BA+-AC,323321CO=-CA+-AB,33于是2——23——2——2BO-CO=-(AB-AC)>0,9故ZOBCEH,還需作

10、AB的平行線EG及CG的中點(diǎn)M,并通過證明ZBME>ZHME后才能獲得。顯然，應(yīng)用向量的證法較為簡單且行之有效。在初等數(shù)學(xué)中不等式的證明一般用初等法，如比較法，構(gòu)造函數(shù)法等。這些方法通常比較靈活，不易掌握。當(dāng)引進(jìn)矢量后，相當(dāng)一部分不等式的證明將變得簡單，易懂。卜?面就對(duì)柯西■施瓦茲（Cauchy?Schwartz）不等式用矢量法給予證明，希累它能起到拋磚引玉之功效。例3證明不等式（匕如（匕応^）。/=1/=11=1證明：設(shè)a=[a[,a2,--Jan},h=…，乞},因a=la丨?1力Icos/（?,&）則

11、顯然有a^b

12、=ABxCDf則AB1CD.(2)證明空間直線與平面兀垂直，只需證明平面龍上任意兩條和交直線段CD與CD滿足以下關(guān)系式：ABCD=OABCD^OabxcB

13、=

14、ab

15、xcd

16、ABxCDr=abxCD1(AB^O,CD^O,而工O)?(3)證明兩平面7T

17、,療2垂直，可證這二平面的法向量?，?垂直.例4(2000年全國高考題第18題)如圖3,已知直平行六面體ABCD—A1fi1C1DI的底面ABCD是菱