判別分析(第1、2節(jié)緒論、距離判別法)

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1、第一節(jié)引言■什么是判別分析？在我們的日常生活和工作實踐中，常常會遇到判別分析問題，即根據(jù)歷史上劃分類別的有關(guān)資料和某種最優(yōu)準(zhǔn)則，確定一種判別方法，判定一個新的樣品歸屬哪一類。例如，在醫(yī)學(xué)診斷中，一個病人肺部有陰影，醫(yī)生要判斷該病人患的是肺結(jié)核、肺部良性腫瘤還是肺癌？這里三種病人的集合體可看做是三個總體，病人是來源于三個總體之一的樣本。判別分析的目的是通過檢測病人的一些指標(biāo)（如陰影大小、邊緣的光滑度、體溫等）來判定該病人應(yīng)屬于那個總體.又如，在天氣預(yù)報中，我們有一段較長時間關(guān)于某地區(qū)每天氣象的記錄資料（晴陰雨、氣溫、氣

2、壓、濕度等），現(xiàn)在想建立一種用連續(xù)五天的氣象資料來預(yù)報第六天是什么天氣的方法。這些問題都可以應(yīng)用判別分析方法予以解決。第一節(jié)引言這類問題可用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)如下：設(shè)有n個樣品，對每個樣品測得p項指標(biāo)（變量）的數(shù)據(jù)，已知每個樣品屬于k個類別（或總體）G1，G2，…，Gk中的某一類，且它們的分布函數(shù)分別為F1(x)，F(xiàn)2(x)，…，F(xiàn)k(x)。我們希望利用這些數(shù)據(jù)，找出一種判別函數(shù)（或判別準(zhǔn)則），使得這一函數(shù)具有某種最優(yōu)性質(zhì)，能把屬于不同類別的樣本點盡可能地區(qū)別開來，并對測得同樣p項指標(biāo)（變量）數(shù)據(jù)的一個新樣品（待判樣品）

3、，能判定這個樣品歸屬于哪一類。直觀上講，判別分析是用來判別樣品所屬類型的一種多元統(tǒng)計分析方法。第二節(jié)距離判別法□馬氏距離第二節(jié)距離判別法圖5.1第二節(jié)距離判別法更一般地，設(shè)總體G1的分布為，設(shè)總體G2的分布為，則利用統(tǒng)計距離，可以找出分界點，且不妨設(shè)，所以若令按這種距離最近的判別準(zhǔn)則：第二節(jié)距離判別法因為是單指標(biāo)的問題，這時判別函數(shù)設(shè)為：，在此例中因，故判。下面給出對于m元總體的這種相對距離—即所謂的馬氏距離定義第二節(jié)距離判別法1、兩個總體的距離判別問題（1）情形：有協(xié)方差矩陣∑相等的兩個總體G1和G2，其均值分別是

4、?1和?2，對于一個新的樣品X，要判斷它來自哪個總體。一般的想法是計算新樣品X到兩個總體的馬氏距離D2（X，G1）和D2（X，G2），并按照如下的判別規(guī)則進(jìn)行判斷這個判別規(guī)則的等價描述為：求新樣品X到G1的距離與到G2的距離之差，如果其值為正，X屬于G2；否則X屬于G1。第二節(jié)距離判別法第二節(jié)距離判別法第二節(jié)距離判別法第二節(jié)距離判別法第二節(jié)距離判別法作為特殊情形，我們考慮：第二節(jié)距離判別法我們用這種特殊情形，說明錯判概率的有關(guān)概念。從圖上可直觀地看到，用距離判別法會發(fā)生錯判，如樣本X雖然來自于總體，但卻落入?yún)^(qū)域，所以

5、按照判別準(zhǔn)則被判別為屬于。錯判的概率為圖中陰影左半部分面積，記為，另一個錯判概率。第二節(jié)距離判別法從錯判概率公式可看出，當(dāng)兩個總體的均值相差甚微，即越小，錯判概率變得越大，這時作判別分析沒有意義。因此只有當(dāng)兩個總體的均值有顯著性差異時，做判別分析才有意義。第二節(jié)距離判別法第二節(jié)距離判別法我們用p=1時的特殊情形，說明兩總體協(xié)方差不等時的歸類過程。假定兩總體為正態(tài)總體:并假定，這時，當(dāng)觀測值x滿足條件：時，其中，，這個點把直線分成兩個部分，即相對應(yīng)的判別準(zhǔn)則為：