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1、有關直線方程的距離及面積問題探析中山市技師學院葛中海一、距離問題題目：已知直線方程y=hc+b，點P（M、N）不在該直線上，求點P到直線的最短距離？解：已知條件：直線方程y=kx+b，點P（M、N）,該點不在直線上。求解問題：點P到直線y=d+方的最短距離。根據(jù)題意，點P（M、N）到直線方程y=kx^b的最短距離，就是通過點P且垂直于y=kx^b的直線上P點到垂點的長度——這樣問題就轉化求解新直線方程了。設，通過點P且垂直于y二也+〃的直線方程為y=kx-i-ho（1）新直線方程y=kx+b的斜率根據(jù)相互垂
2、直的直線方程的冇關定律，可知通過點P（M、N）冃垂直^y=kx+h的直線方程的斜率為y=kx+b的斜率的負倒數(shù)，即-丄。因此，新直線方程為y=--x^bkk（2）新直線方程y二-丄兀+F的F（在y軸上的縱坐標）k因為點P（M、N）在〉，=—丄兀+//上，把點P（M、N）代入），=—丄兀+//,得kk解之得于是，新直線方程為N=~M+bk.1b=N+-Mk1小M、y=--x+(N+—)kk(3)確定兩直線交點坐標聯(lián)立直線方程y=kx+b^y=-—x+(N+—),得kkkx+b=——x+(N+——)kk該方程
3、只有一個變量兀，解之得代入y=kx+b,得k2N+kM-k2bk2h+hk?N+kM+b1=k2+k2+k2+即兩直線交點坐標為:kN+M-kbkN+M-肋丫k2+l)(k2M-kN+kb'z+(N-kM-b［宀1丿—2+1丿(伙M-2+/?)2伙2+1)V(，+l)2J伙？+l)(3)求P點到直線y=kx+b的最短距離由平面直角坐標系的距離公式可知，最短距離為「N+kMk2+.二、例題題目：已知直線方程^=3x+2,求點P（6、2）到直線的最短距離？解：（1）確定新直線方程的斜率設，通過點P（6
4、、2）11垂直于y=3兀+2的直線方程為y=kx+b,則k=丄3于是，新直線方程為1.y=——x+b3（2）確定新直線方程的b又P（6、2）在y=+b上，因此，得32=--x6+b3解之得b=4那么，新直線方程可以表示為y=——x+43（3）求兩直線方程交點坐標聯(lián)立直線方程y=3x+2與y=_}+4,得3x+2=—x+43整理得3-x=23解之得3x=—5代入y=3x+2,得"3卡+2十即，交點坐標為：19r（4）求距離/q、2z6——+2-L5丿19、2'27(3/5,19/5)y=——x+4,3（（）,
5、2）yrP(6,2)j=-Vio5三、探析kN+M—kbx=（1）驗證坐標公式2k2+1N+kM+b＞，=在（一）分析中，已知點P（M,N）,直線方程y=kx+b,在（二）分析中，已知點P（6,2）,直線方程y=3x+2。根據(jù)對應關系，得M=6jN=2,k=3,b=2kN+M—kb把這些參數(shù)代入公式x=zk2+l,得k2N+kM+b3x2+6-3x2b3^7132x2+3x6+2_19y該值與逐步分析計算的結果相同，因此公式的結論是正確的!（2）驗證距離公式d=(k2M—kN+kb、、2'N-kM—b〔疋
6、+1丿把M=6,N=2,k=3,b=2代入上式,得W-N+b
7、_
8、3x6-2+2該值與逐步分析計算的結果相同，因此公式的結論也是正確的!三、面積問題題目：已知直線方程y=3兀+2,P（6、2）是直線外一點。若y=3x+2上還有一點，Ji該點、P點與兩直線的最短距離的直線包圍的三角形而積為手，求該點的坐標？解：（1）根據(jù)詢面的結論，垂直于y=3x+2的且過P（6、2）的直線方程為y=-*+4,兩直線交點坐標為（色，—）o設y=3x+2另一點與冷，善）的距離為d',根據(jù)三角形面積定律，得S=-dH2因為H為P點
9、到兩直線交點的距離，即//=-V10,代入上式，并考慮5=—,得空丄/価525解Z得=-Vio然而，該點可能位于兩直線交點（￥，￥）的左側，也可能位于交點右側，設其坐標為（X,y）,則(3、2(19)X——+y-15丿5丿d'=2=^Vio因為（x,y）在直線y=3x+2上，則(3、2(19]X——+3x+2—15J5J整理得5x2-6x=0%]=0I*把它們代入y=3x+2,得>1=228-）如下圖所示。也就是說，在兩直線交點（？，空）的左側和右側均有一個點，滿足3點組成的三角形面積為藝，這兩個點坐標為（
10、（），2）和（°四、推論7題目：己知冃線y=3x+2,A（——、0）是直線上一點，P（6>2）是直線外一點。如3果直線上還有一點B,且A、B與P包圍的面積為6,求B點坐標？解：（1）根據(jù)前面的結論，垂直于y=3兀+2的且過P（6、2）的直線方程為y=-*尤+4,兩直線交點坐標為（丄，—）,P點到y(tǒng)=3x+2的最短距離為-VlOo雖然我們不知道B在A的哪一?側，但A、B與P包圍的面積為6,因此根據(jù)三角形面積定律，可
