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《直線方程有關(guān)問題探析》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、直線方程有關(guān)問題探析一、距離問題題目：已知直線方程y=kx+b，點P（M、N）不在該直線上，求點P到直線的最短距離？解：已知條件：直線方程y=kx+b，點P（M、N）,該點不在直線上。求解問題：點P到直線y=kx^-b的最短距離。根據(jù)題意，點P（M、N）到直線方程y=kx^b的最短距離，就是通過點P且垂直于y=kx+b的直線上P點到垂點的長度——這樣問題就轉(zhuǎn)化求解新直線方程了。設(shè)，通過點P且垂直于y=kx+b的直線方程為y=kx+b。（1）新直線方程y=kx+b的斜率根據(jù)相互垂直的直線方程的有關(guān)定律，可知通過點P（M、N）且垂直于
2、y=kx+b的直線方程的斜率為y=kx+b的斜率的負(fù)倒數(shù)，即-丄。因此，新直線方程為尸-丄兀+幾kk（2）新直線方程y丄兀+/的F（在y軸上的縱坐標(biāo)）k因為點P（M、N）在），=一丄x+上，把點P（M、N）代入）y-丄x+b',得kk解之得于是，新直線方程為N=~M+bk.1b=N+-Mk1小M、y=--x+(N+—)kk(3)確定兩直線交點坐標(biāo)聯(lián)立直線方程y=kx+b^y=-—x+(N+—),得kkkx+b=——x+(N+——)kk該方程只有一個變量兀，解之得代入y=kx+b,得k2N+kM-k2bk2h+hk?N+kM+b1=
3、k2+k2+k2+即兩直線交點坐標(biāo)為:kN+M-kbL=kN+M-肋丫k2+l)1(k~M-kN+kb^[—刁—)'N-kM-/?YIk~+｛丿(3)求P點到直線y=kx+b的最短距離由平面直角坐標(biāo)系的距離公式可知，最短距離為「N+kMk2+.這個方程比較復(fù)雜，也難以化到很簡便，略去。二、例題題口：已知直線方程y=3x+2,求點P（6、2）到直線的最短距離？解：（1）確定新直線方程的斜率設(shè)，通過點P（6、2）且垂直于y=3兀+2的直線方程為y=kx+b，則k=-」3于是，新直線方程為1,y=——%+/?3（2）確定新直線
4、方程的b又P（6、2）在y=--x+h±f因此，得"31=——x6+b3解之得b=4那么，新直線方程可以表示為1,y=——x+43（3）求兩直線方程交點坐標(biāo)聯(lián)立直線方程y=3兀+2與y=一*+4,得3x+2=--x+42整理得3丄*23解之得3兀=—5代入y=3兀+2,得y=3x_+2=—553x=—5即，交點坐標(biāo)為：《19(4)求距離(3/5,19/5)y=——x+4,3((),2),TP(6，2)L=-Vio5三、探析kN+M-kbx=k2+(1)驗證坐標(biāo)公式＜「N+kM+bV=在(一)分析中，已知點P(M,N),直線方程y
5、=kx+b,在(二)分析中，已知點P(6,2),直線方程y=3x+2。根據(jù)對應(yīng)關(guān)系，得M=6,N=2,k=3,b=2kN+M—kbx=zk2+l把這些參數(shù)代入公式,得k2N+kM+b3x2+6-3x2b32+l32x2+3x6+2_19該值與逐步分析計算的結(jié)果相同，因此公式的結(jié)論是正確的!（2）驗證距離公式厶二「M-kN+kb疋+1N-kM-b[~~疋+1)把M=6,N=2,k=3,b=2代入上式，得<32x6-3x2+3x22-3x6-2丫~~宀1)r32x6—3x2+3x2、2—3x6—2丫18x3101*x32)182io2
6、+孑——該值與逐步分析計算的結(jié)杲相同，因此公式的結(jié)論也是止確的！三、面積問題題目：已知直線方程y=3兀+2,P（6、2）是直線外一點。若y=3兀+2上還有一點，且該點、P點與兩直線的最短距離的直線包圍的三角形面積為可，求該點的坐標(biāo)？解：（1）根據(jù)前面的結(jié)論，垂直于y=3兀+2的且過P（6、2）的直線方程為y=-}+4,兩直線交點坐標(biāo)為（丄，—）o設(shè)y=3兀+2另一點與（
7、,-）的距離為厶‘，根據(jù)三角形面積定律，得S=-LH2因為//為p點到兩直線交點的距離，即H=-Vio,代入上式，并考慮s=—,得解之得然而，該點可能位于兩直線交
8、點（￥，￥）的左側(cè)，也可能位于交點右側(cè)，設(shè)其坐標(biāo)為（X,y）,則(3x——L57、2+19、2-Vio整理得因為（x,y）在直線y=3x+2上，則<19]X——+ix+2—15j5J5x2-6x=0=^VioX]=06廿7把它們代入y=3x+2,得X=228也就是說，在兩直線交點（？，空）的左側(cè)和右側(cè)均有一個點，滿足3點組成的三角形面積為￥■丿7題th已知直線y=3x+2,A（-彳、0）是直線上一點，P（6、2）是直線外一點。如果直線上還冇一點B,且A、B與P包圍的面積為6,求B點坐標(biāo)？解：（1）根據(jù)前面的結(jié)論，垂直于y=3x+2
9、的口過P（6、2）的直線方程為y=--x+4,3兩直線交點坐標(biāo)為（色，—）,P點到y(tǒng)=3兀+2的最短距離為-VlOo雖然我們不知道B在A的哪一側(cè)，但A、B與P包圍的面積為6,因此根據(jù)三角形面積定律，可以求出AB的距離即S=-LabH=6因為丹為p點
