“直線的方程”問題探析

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1、直線的方程”長(zhǎng)庚【編者的話】探析經(jīng)典題目可讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有效率，更好地鞏固、運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，從而理解數(shù)學(xué)，學(xué)會(huì)解題．該專欄只有一個(gè)目的：讓你看到實(shí)實(shí)在在的、擁有良好數(shù)學(xué)思維習(xí)慣的審題過程，從而養(yǎng)成好的解題習(xí)慣，進(jìn)一步找到適合自己的解題方法．當(dāng)然，各人思路不盡相同，如果你有令人“驚艷”的想法和靈感，不妨給我們寫信或發(fā)電子郵件(xingaokaol@163．corn)，也可謂“以題會(huì)友”．1．已知兩條直線al+b1+1—0和一一+al+b，只要再求出1a+6的日zd-b2．y+1一。都過點(diǎn)A(1，2)，

2、求過兩點(diǎn)值就OK了，相信這已經(jīng)難不倒你!P1(口l，b)，P2(02，b2)的直線的方程．站得高方能看得遠(yuǎn)．如果我們換一角題目要我們干什么?求過兩點(diǎn)的直線度看，看出其中的“門道”，解題面貌將煥然的方程，用兩點(diǎn)式?不妥吧，這兩點(diǎn)的坐標(biāo)ra,+2b+1—0。還不知道哩．一新：方程組‘還意味著【口2十2b2+1—0再到條件里去看看，兩條直線都過點(diǎn)什么?A(1，2)，這能得到什么呢?如果把a(bǔ)，b，a。，b?？闯梢阎瑒t方程fn1+2b1+1—0，ilz—al，l—a2，In+26+1—0．組表明【是二元一次方

3、程zY—bl，【Y—b2這樣能得到P，P。的坐標(biāo)嗎?兩個(gè)方+2+1—0的解．程四個(gè)未知數(shù)，還是不能．但我們能得到過如果從解析幾何的角度來分析呢?就P，P的直線的斜率一52-b1一1(試¨_是兩點(diǎn)P1(口1，b1)，P2(＆2，b2)在直線32+2y一試)．這是整體代入的方法．+1—0上!而過兩點(diǎn)的直線有且只有一條，只有斜率還不能寫出方程，怎么辦?問因而z+2-y+1—0就是過該兩點(diǎn)的直線的題好像沒了頭緒，如果再努力一把，試一試方程，即為所求．也許就能“柳暗花明又一村”了．兩種方法殊途同歸，但過程大不一

4、樣，你有何感想?由點(diǎn)斜式y(tǒng)一6一一÷(—n)，可得2．設(shè)△ABC的頂點(diǎn)為A(3，一1)，內(nèi)方程．角B的平分線所在直線的方程為一4+目標(biāo)很清楚，就是求直線BC的方程，怎10—0，AB邊上的中線所在的直線方程為么求，需要根據(jù)條件確定．審題就是翻譯，就6z+1Oy一59—0，求BC邊所在直線的是文字、圖形、符號(hào)語言的互譯，因而畫圖是辯勢(shì)±}一lI。搿lI

5、0；榭菇搿

6、。疆毒*撼獬¨：—0∞孳一援黼A圖1直線的方程，AB所在直線方程易求，至于BC的方程，這不正好先設(shè)后求嗎!我們盡可能地往有利于求直線BC方程的

7、方向上想．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)，邊AB上的思路二已知點(diǎn)A，還可以用角平分線中線所在直線的方程，這能得到什么?中線的另一個(gè)性質(zhì)，A點(diǎn)關(guān)于角平分線的對(duì)稱點(diǎn)意味著什么?AB的中點(diǎn)在此中線上；同時(shí)，A應(yīng)在BC上，故只要求出A的坐標(biāo)就點(diǎn)B在角B的平分線上，這不，B點(diǎn)坐標(biāo)滿行了．足兩個(gè)方程，便可求出來了．于是，求BC的哪種思路簡(jiǎn)單易行?相信你親自做了就知道．方程還差一個(gè)條件．3．已知直線Z過兩條直線3z+4Y一5—意，不一定要在坐標(biāo)系中畫)，再分析條件，0，2．z一3Y+8—0的交點(diǎn)，且與A(2，3)，B你是否會(huì)有新的

8、思路呢?(一4，5)兩點(diǎn)距離相等，求直線Z的方程．我們易知直線z過點(diǎn)M，但暫不能確定求直線的方程一般需要兩個(gè)條件，由條直線的方程，這是因?yàn)橹本€的方向還沒有確件易求出兩直線的交點(diǎn)為M(一1，2)，z過點(diǎn)定．方向沒確定，我們?cè)囍屩本€z繞點(diǎn)MM，求其方程，還有“到兩點(diǎn)距離相等”的條件“旋轉(zhuǎn)”進(jìn)而考察其方向，你能看出“轉(zhuǎn)”到什沒用上，怎么用呢?么“時(shí)候”可能會(huì)符合題設(shè)的條件呢?(不妨點(diǎn)到直線的距離計(jì)算，要有直線的方用透明的直尺當(dāng)成直線進(jìn)行演示觀察)程．已知直線過一點(diǎn)，較為自然地想到“點(diǎn)斜式”：．y一2一(z

9、-t-1)．(不要忘記檢驗(yàn)斜率不存在時(shí)的情況)利用點(diǎn)到直線的距離公式，構(gòu)建關(guān)于k的方程，解方程進(jìn)而確定k的值，從而問題便得到了解決．圖2發(fā)現(xiàn)了嗎?有兩個(gè)位置：與AB所在直線蘭±，3k—lI—I3k+31．平行的直線(圖2中Z)，或經(jīng)過AB中點(diǎn)的直√1+k‘線(圖中z)符合條件．至此，問題已經(jīng)解決了．最終，問題的答案是什么呢?先前給出的解法(需考慮兩種情形：斜率換一個(gè)角度想想，很有意思；解數(shù)學(xué)問存在與否)，也得到了印證，我們獲得了自信．題換一種角度思考，非常重要．在運(yùn)動(dòng)變化的過程中去探求，是一種好如果在

10、分析問題時(shí)畫出圖形(如圖2，注方法．媾黲毫。≈?！啊?。譬；