反例在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

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1、反例在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用摘要：在屮學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)屮，反例冇著非常重要的地位。本文結(jié)合一些數(shù)學(xué)實(shí)例來(lái)討論在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中反例的重要作用，并闡述了一些常見的構(gòu)造反例的方法，以及在運(yùn)用反例教學(xué)時(shí)應(yīng)注意的問題，指明了反例有利于培養(yǎng)學(xué)生的反向思維和創(chuàng)造性思維能力。關(guān)鍵詞：反例；數(shù)學(xué)教學(xué)；作用；構(gòu)造；反向思維中圖分類號(hào)：G643文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B文章編號(hào)：1002-7661(2015)17-202-03所謂反例，通常來(lái)說(shuō)就是舉出一個(gè)具有所要判斷的命題的條件，但是卻不符合命題的結(jié)果的例子。美國(guó)數(shù)學(xué)家B.R.蓋爾鮑姆曾說(shuō)過，數(shù)學(xué)是由證明和反例這兩大類組成的，如

2、果用一個(gè)反例來(lái)解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題，給人的刺激就像一出好戲劇。在教學(xué)中，如果反例運(yùn)用的好，就會(huì)有著事半功倍的作用，既可以活躍課堂氣氛，豐富教學(xué)內(nèi)容，又可以提高學(xué)生興趣,加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)及掌握。所以，反例教學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是必不可少的教學(xué)手段之一。本文將結(jié)合-些數(shù)學(xué)實(shí)例來(lái)討論在屮學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)屮反例的重要作用，并指出在實(shí)際的運(yùn)用中常見的一些反例構(gòu)造方法，以及我們?cè)谶\(yùn)用和構(gòu)造反例教學(xué)時(shí)應(yīng)該注意的問題，在教學(xué)中更要注意引導(dǎo)學(xué)生的反向思維，使學(xué)生更好地利用反例來(lái)學(xué)習(xí)、思考。、反例在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用1、反例有助于學(xué)生掌握概念、定理和公式(1)

3、反例有助于學(xué)生更好地理解一些抽象數(shù)學(xué)概念在屮學(xué)概念教學(xué)屮，對(duì)于某些比較抽象的概念，冇時(shí)當(dāng)我們只從正面給出其定義并舉例來(lái)說(shuō)明，這并不夠，為了加深學(xué)生對(duì)其木質(zhì)的了解，我們不僅要運(yùn)用正確的例子從正面來(lái)向?qū)W生闡明知識(shí)點(diǎn)，還要舉出不符合定義的反例，從側(cè)面對(duì)比其不同。教育心理學(xué)家也認(rèn)為：“概念或規(guī)則的正例傳遞了最有利于概念的信息，反例則傳遞了最有利于辨別的信息比如，偶函數(shù)的定義：若對(duì)于函數(shù)定義域里任意的一個(gè)，都有成立,則函數(shù)就是偶函數(shù)。而這個(gè)定義中“任意”兩個(gè)字是很重要的，但是學(xué)生往往容易忽視，這里我們就可以提出反例來(lái)加深學(xué)生對(duì)其的掌握。例2.1對(duì)于

4、函數(shù)，有人依據(jù)，，判斷是偶函數(shù)。分析：這個(gè)判斷是錯(cuò)誤的，提出反例：當(dāng)時(shí)，，而，即。由于對(duì)于定義域屮任意不是都冇，所以，不是偶函數(shù)。通過反例的提出，我們加深了學(xué)生對(duì)這些關(guān)鍵詞的理解，以后再遇見類似題目時(shí)，會(huì)特別注意命題中的關(guān)鍵點(diǎn)，做到全面的分析、解答，避免類似錯(cuò)誤的再發(fā)生。(2)反例有助于學(xué)生更好地掌握定理或性質(zhì)在屮學(xué)定理或性質(zhì)的教學(xué)屮，定理或性質(zhì)一般都采用了正面闡述的形式，但是學(xué)生往往對(duì)一些關(guān)鍵性詞語(yǔ)認(rèn)識(shí)不夠，對(duì)所給條件理解不透徹，不注意分析它們的條件以及所適用的范圍，只是在機(jī)械地記憶。這時(shí)如果遇到一些與此名稱相似的定理或性質(zhì)，就容易把這

5、些定理或性質(zhì)混淆在一起，從而在解相關(guān)題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。為了避免這種錯(cuò)誤的出現(xiàn)，我們可以適當(dāng)?shù)囊敕蠢虒W(xué)，來(lái)幫助學(xué)生理解、記憶定理或性質(zhì)中的關(guān)鍵詞及所必需的條件，從而使學(xué)生能夠很好的學(xué)握，并正確的運(yùn)用。比如說(shuō)，在證明三角形全等時(shí)冇這樣一種方法：“冇兩邊和它們的夾介對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三和形是全等的這里的“夾和”一詞是非常關(guān)鍵的,很多學(xué)生可能錯(cuò)誤地認(rèn)為“有兩邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”,這可以通過反例來(lái)糾正。（3）反例有助于學(xué)生用好公式在公式學(xué)習(xí)屮，學(xué)生容易忽略公式成立的條件或者是公式應(yīng)用的范圍，容易把相似公式混淆，從而在使用時(shí)發(fā)生錯(cuò)誤。為了

6、避免這類錯(cuò)誤的發(fā)生，適當(dāng)?shù)呐e一些反例也是很有必要的。比如說(shuō)，在矩陣教學(xué)中，有這樣一個(gè)公式：?這個(gè)公式只適用于矩陣乘積的情況，并不是所有的矩陣算法都滿足上述等式，但是有的學(xué)生依據(jù)這個(gè)公式，類似得出：?錯(cuò)誤地認(rèn)為這個(gè)等式是成立的，我們可以提出反例來(lái)說(shuō)明這個(gè)式子是不正確的。例2.2,，其中，，，很顯然。通過反例教學(xué)，能夠使學(xué)生明白：在實(shí)際的解題過程中，必須嚴(yán)格地按照公式代入求值，應(yīng)正確掌握公式的使用條件，而且每建立一個(gè)公式都需要經(jīng)得起各種驗(yàn)證。2、反例能夠幫助糾正錯(cuò)誤，發(fā)現(xiàn)問題判斷一個(gè)命題或者一種理論的正確或錯(cuò)誤，最好的方法就是構(gòu)造反例。一個(gè)命

7、題或者一種理論可能會(huì)有很多的反例存在，但是我們只要找到其中的一個(gè)反例就可以否定這個(gè)命題或者這種理論。總之，它可以直觀、簡(jiǎn)明、清晰的把事實(shí)表達(dá)出來(lái)，澄清是非，揭示錯(cuò)誤。所以，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，靈活運(yùn)用反例教學(xué)，可以很好地幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)命題屮所存在的問題，糾正其屮錯(cuò)誤。比如，在連續(xù)函數(shù)教學(xué)中，有這樣一個(gè)定義：“如果函數(shù)在點(diǎn)處及點(diǎn)附近均有定義，并且，那么就稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)「有的學(xué)生依據(jù)此定義得出命題：“如果函數(shù)在點(diǎn)處及附近均有定義，并且，那么就稱函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)?！钡茱@然，這個(gè)命題并不正確，那么我們可以舉出以下幾個(gè)反例來(lái)提示學(xué)生：這個(gè)新命題是錯(cuò)誤

8、的。用反例來(lái)糾正學(xué)生錯(cuò)誤。例2.3若函數(shù)，在處是否連續(xù)？分析：在處不連續(xù)，是因?yàn)樵谔師o(wú)定義。例2.4若函數(shù)，在處是否連續(xù)？分析：在處不連續(xù)，是因?yàn)?，，即。通過反例教學(xué)，學(xué)生可以很快地發(fā)現(xiàn)所給出