數(shù)形結(jié)合思想在高考數(shù)學(xué)中的運用

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1、數(shù)形結(jié)合思想在高考數(shù)學(xué)中的運用數(shù)形結(jié)合思想是高屮所學(xué)數(shù)學(xué)思想屮一種極其重要的思想，是高考中經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容,尤其是在選擇題、填空題中,數(shù)形結(jié)合思想是重要考查點，因此，靈活掌握和運用數(shù)形結(jié)合思想解答選擇題、填空題，是取得高考高分的關(guān)鍵?本文就剛結(jié)束的2014高考為例,就高考選擇題、填空題中所考查的數(shù)形結(jié)合思想做一淺要探究.數(shù)形結(jié)合思想是通過數(shù)與形之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像進(jìn)行結(jié)合和相互轉(zhuǎn)化，以尋找解題思路?在解數(shù)學(xué)題中，利用數(shù)形結(jié)合思想可優(yōu)化解題過程，使復(fù)雜問題簡單化，快速準(zhǔn)確解決問題?著名數(shù)學(xué)

2、家華羅庚也曾說：“數(shù)形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛?數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微?”可見，數(shù)學(xué)中的數(shù)和形要緊密結(jié)合，不可分離.2014年高考考試大綱明確指出要重視數(shù)學(xué)思想方法的考查，而數(shù)形結(jié)合思想就成了高考中的重要考點?高考中數(shù)形結(jié)合思想的考查主要集中在選擇題、填空題中?因此，靈活巧妙的運用數(shù)形結(jié)合思想可有針對性的在解決高考選擇題、填空題屮發(fā)揮奇特的功效，能在提高數(shù)學(xué)解題正確率的同時，大人提高解題速度，為簡答題以及檢查試卷爭取時間，為得高分奠定基礎(chǔ).數(shù)形結(jié)合常包括以形助數(shù)、以數(shù)助形、數(shù)形互助三個方面?下面就以2014年高考數(shù)學(xué)試卷為例，分

3、別就這三個方面對數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行說明.一、以形助數(shù)以形助數(shù)就是通過由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，通過研究直觀的圖像性質(zhì)來幫助解決數(shù)的問題，以達(dá)到數(shù)形結(jié)合，解決問題的目的?在高考選擇題、填空題中，考查數(shù)形結(jié)合思想主耍考查的即是以形助數(shù).例1（2014年遼寧）已知a=2-13,b=log213,c=logl213,則（）(A)a>b>c(B)a>c>b(C)c>a>b(D)c>b>a圖1解析:這是“數(shù)”比較大小的問題，有一定的難度，但考慮到將數(shù)轉(zhuǎn)化成形，以形助數(shù)，問題就變的簡單了?由題意畫岀三個函數(shù)y二2-x,y=log2x,y=logl2x的圖像，如圖1

4、,由圖像可得當(dāng)x二13時,c>a>b.注：對于函數(shù)比較大小的問題，借助函數(shù)的圖像進(jìn)行觀察分析，以形助數(shù)，可更直觀更快速地解決問題.例2（2014年全國）若函數(shù)f（x）=cos2x+asinx在區(qū)間（兀6,兀2）是減函數(shù)，則a的取值范圍是■圖2解析：觀察到函數(shù)f（x）可先化為只關(guān)于sinx的函數(shù)f(x)=cos2x+asinx=-2sin2x+asinx+l.下面令t=sinx進(jìn)行換元，則f(x)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(t)-2t2+at+l(OWtWl),這是一個關(guān)于t的二次函數(shù)?這里還耍注意t的取值范圍是OWtWl.現(xiàn)在問題就轉(zhuǎn)化成了二次函數(shù)的

5、性質(zhì)問題?即得到f(t)二-2t2+at+l(OWtWl)在區(qū)間(12,1)上是減函數(shù)?畫出f(t)圖像，如圖，開口向下，對稱軸為t=a4,由圖像可得*12,所以xW(-00,2],故a的取值范圍是(-8,2].注：三角函數(shù)是一類特殊的函數(shù)，在研究其單調(diào)性時，一般采用的是研究三角函數(shù)的性質(zhì)，但若得到的三角函數(shù)式是一個二次函數(shù)時，則就需換元，通過研究二次函數(shù)的圖像來解決問題.圖3例3(2014年山東)已知函數(shù)f(x)=

6、x-2

7、+l,g(x)=kx?若方程f(x)二g(x)有兩個不相等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是()(A)(0,12)(B)

8、(12,1)(C)(1,2)(D)(2,+OO)解析：注意到f(x)含有絕對值，先分類討論，當(dāng)x—220,即x22時，f(x)=x-2+l=x~L當(dāng)x~2<0,即x<2時，f(x)=2-x+l=3-x.在坐標(biāo)軸中作出f(x)的圖像，如圖3,f(x)的圖像最低點是(2,1),g(X)=kx過定點(0,0)?所以通過圖形可看出g(x)過原點和(2,1)時斜率最小為12,斜率最大時g(X)的斜率與f(x)=X-1的斜率一致，即k=l.故k的取值范圍為(12,1),選(B).注：方程的解的問題，可通過方程所表示的幾何意義與圖形建立聯(lián)系,以形助數(shù)，

9、將方程所表達(dá)的抽象數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的位置關(guān)系來解決.二、以數(shù)助形涉及到圖形的問題，大多數(shù)都借助數(shù)的知識，轉(zhuǎn)化為數(shù)的關(guān)系進(jìn)行研究，這就是以數(shù)助形的方法?運用代數(shù)知識研究圖4幾何問題，以數(shù)助形，是數(shù)形結(jié)合思想的另一方面.例4(2014年福建)若函數(shù)y=logax(a>0且aHl)的圖象如圖4所示，則下列函數(shù)圖像正確的是()解析：由題目所給圖像可知，函數(shù)過點(3,1),即loga3=l,所以得到滬3?將滬3依次帶入(A)(B)(C)(D)四個選項屮，并觀察(A)(B)(C)(D)中函數(shù)表達(dá)式所對應(yīng)的圖像，很顯然(A)(C)(D)錯誤，故選(B

10、).注：數(shù)與形相互對應(yīng)，把圖形中隱藏的數(shù)量關(guān)系找出來，將“形”的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題，以數(shù)助形，是解決圖形問題的一個好做法.三、數(shù)形互助在常規(guī)解題中，有時會將上述兩種形式結(jié)合起來，既以形助數(shù)