函數(shù)最值求法及運(yùn)用

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1、函數(shù)最值求法及運(yùn)用一?經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)梳理：1).問題思考的角度：1.幾何角度；2.代數(shù)角度2).問題解決的優(yōu)化策略：I、優(yōu)化策略代數(shù)角度：1.消元2.換元3.代換4.放縮①經(jīng)驗(yàn)放縮，②公式放縮.③條件放縮.(顯在條件、隱含條件)]II、幾何角度：經(jīng)驗(yàn)特征策略分析問題的幾何背景?線性規(guī)劃、斜率、距離等3)?核心思想方法：劃歸轉(zhuǎn)化思想;等價轉(zhuǎn)化思想.若,貝(Ja>A———>y[ab>1t>b>0V21+1ab二、體驗(yàn)訓(xùn)練：1.線性規(guī)劃問題2已知雙曲線方程為求卜I-卜

2、的最小值2.斜率問題已知函數(shù)/(兀)的定義域?yàn)閇―2,乜)，且/(-2)=1,/(0)

3、=-1,/(4)=1,/'(X),為/(X)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y=八兀)的圖像如圖所示.若兩止數(shù)兀y滿足/(2x+j)<1,則凹的収值x+3(37)范圍是.(53；3.距離問題3、由直線y=x+±的一點(diǎn)向圓(x-3)2+/=1引切線，則切線長的最小值為."練習(xí)1?已知點(diǎn)P(x,y)是直線也+丁+3=0伙>0)上動點(diǎn)，PA.PB是圓C:x2+y2-4y+3=0的兩條切線，A、B是切點(diǎn),若四邊形P4CB的最小面積是2,則￡=?2x>0練習(xí)2.己知實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組<^>0，則%2+)，-2x-2y的最小值為x+y<14.消元法已知函數(shù)f(x)=

4、4-x2-4,若0v加且f(m)=于⑺),則腫的取值范圍為(0,4)練習(xí)：設(shè)函數(shù)/(x)=x2+2x-l,若d

5、令J-2x=t(Z>0,x<—),則兀=，/.y=1=—(Z+1)2+1,2222當(dāng)20,即x=-時取等號，.??函數(shù)取最大值丄，無最小值.222.已知OA=OB=1f且夾角為120°如圖點(diǎn)C在以0為圓心的圓弧上動?若OC=xOA+yOB^c.ywR則求x+y的最大值.6.代換法設(shè)兀,為正實(shí)數(shù)，滿足兀-2y+3z=0,則丄的最小值是3【解析】木小題考查二元基本不等式的運(yùn)用?x+3zH+9Z+6必、竺込=3,當(dāng)且僅當(dāng)“昭時取—，.4xz4xz設(shè)正實(shí)數(shù)%?>',z滿足(x+y).(x+z)=2則xyz(x+y+z)的最大值為▲17.公式放縮法

6、函數(shù)=sin2%+—,xg(0,7t)的最小值為：5sin"x錯解：Vxg(0,tt)sinxg(0,1,sin2xe(0,1］又sin2x?=4為定值故利用基本不等式得y>2^4=4sin"x即y的最小值為4點(diǎn)評：利用基本不等式必須滿足三個條件：即"一正、二定、三等”，而本題只滿足前兩個條件，不滿足第三個條件，即sin2x=^^不成立。sirrx2怖設(shè)兀"為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=l,則力+y的最人值是。58.放縮法、換元法已知二次函數(shù)f(x)=ax2+2x+c的值域是［0,+a)).那么+的最小值是?9.綜合探討：滿足條件AB=2,A

7、C=42BC的三角形ABC的面積的最大值【解析】本小題考查三角形面積公式、余弦定理以及函數(shù)思想.設(shè)BC=x,則AC=V2x根據(jù)而積公式得=-ABxBCsinB=xV1-cos2B,根據(jù)余弦定理得4^代入上式得門AB2+BC2-AC24+x2-2x24-x2cosB===2ABxBC4x4x山三角形三邊關(guān)系有［低+解得272-2a/2x故當(dāng)兀=2^2時取得Swc最人值2^2解析2：若AB=2,AC=4iBC,則的最大值?！窘馕觥勘拘☆}考杏三角形面積公式及函數(shù)思想。因?yàn)锳B二2(定長)，可以以AB所在的直線為X軸，其中垂

8、線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(-1,O),B(1,O),設(shè)C(x,y),山AC=^2BCnJ得丁(兀+1)2+)，二冋匕—心于,化簡得(x-3)2+y2=8,即C花以(3,0)為圜心，2邁為半徑的圓上運(yùn)動。乂Smbc=^-AB-

9、yc

10、=

11、yJ<2>/2。答案2血7、設(shè)xg(0,-),貝U函數(shù)(sin2x+—^)(cos2x+—)的最小值是—2sirrxcosx417.如圖：某污水處理廠要在一個矩形污水處理池(ABCD)的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道(RbFHE,H是直角頂點(diǎn))來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好?設(shè)計(jì)要求管道的接口H是A3的中

12、點(diǎn)，￡,F分別落在線段BC,AD上已知AB=20米，人￡>=10巧米,記ZBHE=0.(1)試將污水凈化管道的長度厶表示為口的函數(shù)，并寫出定義域;(2)若sin&+