函數(shù)最值求法

《函數(shù)最值求法》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。

1、函數(shù)最值求法1.判別式法若函數(shù)可化成一個(gè)系數(shù)含有的關(guān)于的二次方程:。在時(shí),由于為實(shí)數(shù),則有,由此可以求出所在的范圍,確定函數(shù)的最值。例1.1已知,其中是實(shí)數(shù),則的最大值為_(kāi)_____。解:設(shè),由得,是方程的兩個(gè)實(shí)根.整理化簡(jiǎn),得,故.即的最大值為2例1.2實(shí)數(shù)滿足,設(shè),則的值為_(kāi)______。解:由題意知,,故又是方程的兩個(gè)實(shí)根.解得，即2.函數(shù)的單調(diào)性法當(dāng)自變量的取值范圍為一區(qū)間時(shí)，常用單調(diào)性法來(lái)求函數(shù)的最值。若函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上是單調(diào)的,則該函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)上取到最大值或最小值。若函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)的，則把該區(qū)間分成各個(gè)小區(qū)間，使得函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間上是單調(diào)的，再求出各個(gè)小區(qū)間

2、上的最值，從而可以得到整個(gè)區(qū)間上的最值。例2.1求函數(shù)的最小值和最大值。解：先求定義域，由得又，故當(dāng)，且增加時(shí)，增大，而減小.于是是隨著的增大而減小，即在區(qū)間上是減函數(shù)，所以,例2.2求函數(shù)，的最大值和最小值。解：，令，.當(dāng)時(shí)，有在上是減函數(shù)，因此，，3.均值不等式法均值不等式:設(shè)是個(gè)正數(shù),則有,其中等號(hào)成立的條件是。運(yùn)用均值不等式求最值,必須具備三個(gè)必要條件,即一正二定三等,缺一不可。“正”是指各項(xiàng)均為正數(shù),這是前提條件；“定”是指各項(xiàng)的和或積為定值；“等”是等號(hào)成立的條件。例3.1設(shè)為自然數(shù),為實(shí)數(shù),且滿足,則的最小值是______。解:>.由均值不等式得,故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),上式取

3、等號(hào).故的最小值是例3.2設(shè)，，,記中最大數(shù)為M,則M的最小值為_(kāi)_____。解:由已知條件得設(shè)中的最小數(shù)為,則M=由已知條件知,,于是所以,,且當(dāng)時(shí),,故的最小值為,從而M的最小值為注:在用均值不等式求函數(shù)的最值時(shí),往往需要配合一定的變形技巧,才可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求不等式的問(wèn)題。例3.3設(shè),則的最大值是_______。解:由,有又其中當(dāng)時(shí),上式等號(hào)成立,即時(shí)成立,故的最大值為4.換元法用換元法求函數(shù)最值,就是根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn),把某一部分看作一個(gè)整體或用一個(gè)新變?cè)獊?lái)代替,達(dá)到化繁難為簡(jiǎn)易,化陌生為熟悉,從而使原問(wèn)題得解。換元法通常有三角代換和代數(shù)代換兩種。例4.1正數(shù)滿足，其中為

4、不相等的正常數(shù)，求的最小值。解：令則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式取等號(hào).故例4.2實(shí)數(shù)適合條件，則函數(shù)的值域是_______。解：由已知可設(shè)，，其中，則當(dāng)，，即時(shí)，；當(dāng)，，即時(shí)，.故的值域是5.幾何法某些二元函數(shù)最值問(wèn)題具有圖形背景,這時(shí)我們可以將所給函數(shù)表達(dá)式化為具有一定幾何意義的代數(shù)表達(dá)式,再利用幾何圖形,對(duì)函數(shù)最值作出直觀的說(shuō)明和解釋。根據(jù)函數(shù)所表示的幾何意義,我們可以將函數(shù)分為以下幾種:5.1可視為直線斜率的函數(shù)的最值例5.1.1求函數(shù)的最小值。解:令,則且，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:當(dāng)點(diǎn)在上半個(gè)單位圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求與的連線的斜率的最值(如圖).顯然,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),直線的斜率最小,此時(shí).當(dāng)直線

5、與上半個(gè)單位圓相切時(shí),直線的斜率最大.設(shè),則直線的方程為直線與上半個(gè)單位圓相切解得(舍去)或綜上可得,直線的斜率的最值為:，，5.2可視為距離的函數(shù)的最值例5.2.1函數(shù)的最大值是_______。解：將函數(shù)式變形,得可知函數(shù)的幾何意義是：在拋物線上的點(diǎn)分別到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之差,現(xiàn)求其最大值.由知，當(dāng)在的延長(zhǎng)線上處時(shí)，取得最大值5.3可視為曲線截距的函數(shù)的最值例5.3.1求函數(shù)的最大值。解:令,則,且.則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:當(dāng)點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求雙曲線族(視為常數(shù))在軸上的截距的最大值.當(dāng)時(shí),由方程得,由此可知:當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),此雙曲線族有公共的漸進(jìn)線和,有公共的中心由此不難得出,當(dāng)雙曲線族與

6、單位圓切于點(diǎn)時(shí),縱截距取得極大值，而,故所求縱截距的極大值就是最大值.因此,所求函數(shù)的最大值為6.構(gòu)造方差法設(shè)個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,則其方差為顯然（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）。應(yīng)用這一公式，可簡(jiǎn)捷、巧妙地解決一些試題的最值問(wèn)題。這種方法適用的范圍很廣，可以用來(lái)求函數(shù)的最值，也可以用來(lái)求某一字母的最值以及求某一代數(shù)式的最值。例6.1求函數(shù)的最大值。解：的方差是解得.故例6.2確定最大的實(shí)數(shù)，使得實(shí)數(shù)滿足：,解：由已知得,,的方差解得.故的最大值為注：對(duì)于例1，我們也可以用構(gòu)造方差法來(lái)求解，解題過(guò)程如下：解法2：不妨設(shè)，則由已知,即得又的方差是即,由此判定,解得,即,亦即.故的最大值為7.導(dǎo)數(shù)法設(shè)

7、函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，則在上的最大值和最小值為在內(nèi)的各極值與，中的最大值與最小值。要求三次及三次以上的函數(shù)的最值,以及利用其他方法很難求的函數(shù)似的最值,通常都用該方法。導(dǎo)數(shù)法往往就是最簡(jiǎn)便的方法,應(yīng)該引起足夠重視。例7.1求函數(shù),的最大值和最小值。解:,令,方程無(wú)解.函數(shù)在上是增函數(shù).故當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),例7.2求數(shù)列的最大項(xiàng)。解:設(shè),則令,則得又,將,及加以比較,得的最大值為數(shù)列的最大項(xiàng)為第項(xiàng),這一項(xiàng)的值為例7.3已知的導(dǎo)函數(shù)，試探究的極點(diǎn)和最點(diǎn).解析：.有3個(gè)相異的