函數(shù)最值求法探究

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1、函數(shù)最值求法的探究合肥市第六中學(xué)高一（1）班王昊夏承源張旭徐劉辰亮在中學(xué)數(shù)學(xué)中，常遇到一些問題，它們在許多情況下可以歸結(jié)為求函數(shù)的最值（值域）問題。函數(shù)最值在數(shù)學(xué)中有看重耍的作用，探究函數(shù)的最值，是研究甫數(shù)性質(zhì)、不等式求解等一些問題的解決手段z—。因此對于我們中學(xué)生來說（特別是高屮生），函數(shù)最值問題是一個重點和難點（這一點也在平時的學(xué)習(xí)中體現(xiàn)出來）。對于函數(shù)最值的求法，多種多樣，范圍很廣，且相互交織，很是有趣。這里，我們研究一些常用的函數(shù)最值求法。對于最大值和最小值，通常記作九和瞌。一.單調(diào)性法用單調(diào)性來求最值是一類常用的求最值的方法。這種方法比較基礎(chǔ)但乂十

2、分重要，它經(jīng)常與下文的其他方法交叉使用。在使用吋，注意函數(shù)的定義域和題日中的限制條件。我們來看以下一個簡單的例子以說明問題。例1.求函數(shù)y=無+纟在［-V^,O）U（O,V^］上的值域。X我們首先必須知道這樣一個基礎(chǔ)的單調(diào)性知識：形如y=x止的函數(shù)在（-00,-7^］和X［花+oo）上單調(diào)增，在卜花o）和（o,JT

3、上單調(diào)減。那么不難看出這個函數(shù)在卜饑,0）上的值域為（-8,2詼］,在（0,V^J上的值域為［2娠,+00）。所以，值域為（-oo,-2V^Ju［2^+00）。注使用單調(diào)性求最值（值域）往往耍掌握一些基本函數(shù)的單調(diào)性才能熟練運用之。另外，一般在實

4、際運用時，很少出現(xiàn)只用單調(diào)性求最值的問題，一般要聯(lián)系換元、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性等多種方法解決問題。二.配方法可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題（一般涉及換元），我們一般用配方法解題。配方法是一種處理涉及二次函數(shù)的最值問題的比較快捷簡便的方法之一。如：例2.已知：X,和兀2是方程/-伙-2）x+伙2+3R+5）伙wR）的兩個實根，則X）24-%2的最大值是（）A.19B.18C.5-D.不存在9事實上，首先知道原方程一定有實根，所以A>0n3疋+16鳥+16503解得一45￡5—o4由韋達左理，Xj+兀2二比一2,=k"+3k+5,我們設(shè)/（￡）=彳+兀；=（舛+兀2）2-2

5、兀］兀2，（轉(zhuǎn)化為比的函數(shù)?。﹦t有而/⑹在-4,-

6、上是減函數(shù)，易知R時，(西+花)爲=18????選B.■3"注我們在求函數(shù)的最值時，注意定義域。如本題中，若不先判斷出來kw-4,--而是直4接用韋達定理得到①式，就可能誤選A。所以，探究最值時，一定要注意！對于二次函數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)，我們可以轉(zhuǎn)化為一個這樣的函數(shù)：f(x)=a[g(x)]2+bg(x)+c其中a,b,c是常數(shù)。這種函數(shù)我們也可以用配方法處理Z：f(x)=a[g(x)-—]2+4ac-其實這正體現(xiàn)了換元法。再看：2a4a例3.設(shè)/(x)=cos2x+2psinx+q,且有,皿=10,fmi

7、n=7,求P，q的值。令t=sinx,則-15/51,原式化為/a—pF+p'+q+l注意到最值的取得與〃有關(guān)，于是分類討論：i.p>1,時/⑴在[-1,1]上為增函數(shù)，10=4ax=蘆⑴=-(1-p)2++q+1=2p+g,7=Znin=_(_1_P)?+#2+g+]=_2p+g,317解得0=2詡=乂，矛盾！42".事實上，同，.知pv-l也不可能。Zz7.-l

8、2/^若人m=/(T)=7=-2p+g,③①③聯(lián)立，得〃=-1+希，q=5+2x/i注注意分類討論。這個例子說明了轉(zhuǎn)化的妙處。我們把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)處理，方便了解題。一.判別式法對于一些特殊形式的函數(shù)(如分式函數(shù)等)，如果進行適當(dāng)變形把y(要求最值的函數(shù))出現(xiàn)在一個有實數(shù)根的一元二次方程的系數(shù)中，就可以通過判別式△?()求得最值。例°求尸777R的最值。首先將原式變形：y?+(y—2)x+y=o,???兀是實數(shù).A=(y-2)2-4y2>02m-2

9、><1)=--注用此法求函數(shù)最值，注意AYO是表示A>0或△=(),不是兩者同時成立。所以解出y的范圍后，(如a0解得+山)=4+価,得兀=呼，代回原式，得兒ax=y(呼)=4+VTU由y=4-怖，得*-亟，代回原式，2Amin=『(-乎)=4工4_価

10、我們發(fā)現(xiàn)4-廊不是最小值。這時從定義域上分析。因為定