數(shù)學建模姜啟源第四版

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1、第一章建立數(shù)學模型1.1從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型1.2數(shù)學建模的重要意義1.3數(shù)學建模示例1.4數(shù)學建模的方法和步驟1.5數(shù)學模型的特點和分類1.6怎樣學習數(shù)學建模玩具、照片、飛機、火箭模型…~實物模型水箱中的艦艇、風洞中的飛機…~物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖…~符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物.模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征.1.1從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型我們常見的模型你碰到過的數(shù)學模型——“航行問題”用x表示船速，y表示水速，列出方程：

2、答：船速為20km/h.甲乙兩地相距750km，船從甲到乙順水航行需30h，從乙到甲逆水航行需50h，問船的速度是多少?x=20y=5求解航行問題建立數(shù)學模型的基本步驟作出簡化假設（船速、水速為常數(shù)）；用符號表示有關量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學式子（二元一次方程）；求解得到數(shù)學解答（x=20,y=5）；回答原問題（船速為20km/h）.數(shù)學模型(MathematicalModel)和數(shù)學建模（MathematicalModeling)對于一個現(xiàn)實對

3、象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學表述.建立數(shù)學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數(shù)學模型數(shù)學建模1.2數(shù)學建模的重要意義電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；數(shù)學以空前的廣度和深度向一切領域滲透.數(shù)學建模作為用數(shù)學方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視.在一般工程技術領域,數(shù)學建模仍然大有用武之地；在高新技術領域,數(shù)學建模幾乎是必不可少的工具；數(shù)學進入一些新領域，為數(shù)學建模開辟了許多處女地.“數(shù)學是一種關鍵的、普遍的、可以應用的技術

4、”.數(shù)學“由研究到工業(yè)領域的技術轉(zhuǎn)化，對加強經(jīng)濟競爭力具有重要意義”.“計算和建模重新成為中心課題，它們是數(shù)學科學技術轉(zhuǎn)化的主要途徑”.數(shù)學建模的重要意義數(shù)學建模的具體應用分析與設計預報與決策控制與優(yōu)化規(guī)劃與管理數(shù)學建模計算機技術知識經(jīng)濟如虎添翼1.3數(shù)學建模示例1.3.1椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析模型假設通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面;地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地.模型構(gòu)成用數(shù)學

5、語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來.椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性.xBADCOD′C′B′A′用?(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置.四只腳著地距離是?的函數(shù).四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f(?)B,D兩腳與地面距離之和~g(?)兩個距離?椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉(zhuǎn)正方形對稱性用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來.f(?),g(?)是連續(xù)函數(shù)對任意?,f(?),g(?)至少一個為0數(shù)學問題已知：f(?),g(?)是連續(xù)函數(shù);對任意?，f(?)

6、?g(?)=0;且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在?0，使f(?0)=g(?0)=0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法3）由f,g的連續(xù)性知h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在?0(00，知f(?/2)=0,g(?/2)>0.2）令h(?)=f(?)–g(?),則h(0)>0和h(?/2)<0.4）因為f

7、(?)?g(?)=0,所以f(?0)=g(?0)=0.評注和思考建模的關鍵：假設條件中哪些是本質(zhì)的,哪些是非本質(zhì)的?考察四腳連線呈長方形的椅子(習題4).用?表示椅子的位置椅子的旋轉(zhuǎn)軸在哪里，它在旋轉(zhuǎn)過程中怎樣變化？用f(?),g(?)表示椅腳與地面的距離證明過程的粗糙之處：1.3.2商人們怎樣安全過河問題(智力游戲)???3名商人???3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步?jīng)Q策過程決策~每一步(此岸到彼岸

8、或彼岸到此岸)船上的人員.要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)模型構(gòu)成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,…sk=(xk,yk)~過程的狀態(tài)S={(x,y)?x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk,vk)~過程的決策D~允許決策集合uk,v