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《數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸思想》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、1.化歸思想方法:就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),采用某種手段或方法將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化,進(jìn)而達(dá)到使問(wèn)題解決的一種方法,在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),常遇到一些問(wèn)題直接求解較為困難,需將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問(wèn)題(相對(duì)來(lái)說(shuō),對(duì)自己較為熟悉)通過(guò)對(duì)新問(wèn)題的求解,達(dá)到解決原問(wèn)題的目的.2.轉(zhuǎn)化思想方法:是實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的規(guī)范化、模式化以便應(yīng)用已知的理論、方法和技巧,達(dá)到問(wèn)題的解決,其思維過(guò)程的形式如圖.解題的過(guò)程就是“轉(zhuǎn)化”的過(guò)程,“轉(zhuǎn)化”是解數(shù)學(xué)題的重要思想方法之一.2011年高考數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸思想3.轉(zhuǎn)化具有多樣性、層次性和重復(fù)性的特點(diǎn),為了實(shí)施有效的轉(zhuǎn)化
2、,既可以變更問(wèn)題的條件,也可以變更問(wèn)題的結(jié)論;既可以變換問(wèn)題的內(nèi)部結(jié)構(gòu),又可以變換問(wèn)題的外部形式,這就是多樣性.轉(zhuǎn)化原則既可以應(yīng)用于溝通數(shù)學(xué)與各分支學(xué)科的聯(lián)系,從宏觀(guān)上實(shí)現(xiàn)學(xué)科間的轉(zhuǎn)化,又能調(diào)動(dòng)各種方法與技術(shù),從微觀(guān)上解決多種具體問(wèn)題,這是轉(zhuǎn)化的層次.而解決問(wèn)題時(shí)可以多次的使用轉(zhuǎn)化,使問(wèn)題逐次達(dá)到規(guī)范化,這是轉(zhuǎn)化原則應(yīng)用的重復(fù)性.問(wèn)題規(guī)范問(wèn)題原問(wèn)題的解答解答問(wèn)題轉(zhuǎn)化已知理論、方法、技巧問(wèn)題還原1.函數(shù)y=sin4x+cos2x的最小正周期是()A.B.C.D.解析B2.在直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在直線(xiàn)x=3上運(yùn)動(dòng),若從動(dòng)點(diǎn)P向
3、Q點(diǎn)的軌跡引切線(xiàn),則所引切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為()A.4B.5C.D.解析點(diǎn)Q的軌跡是以(-2,-2)為圓心,半徑為1的圓,要使所求切線(xiàn)長(zhǎng)最小,只要使圓心到直線(xiàn)x=3的距離最短即可.C3.設(shè)橢圓(a>b>0)的半焦距為c,直線(xiàn)l過(guò)(0,a)和(b,0),已知原點(diǎn)到l的距離等于,則橢圓的離心率為()A.B.C.D.解析直線(xiàn)方程為l:ax+by-ab=0,所以,變形為12e4-31e2+7=0,再解出.B4.設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),A(1,1),若B(x,y)滿(mǎn)足,則取最小值時(shí),點(diǎn)B的個(gè)數(shù)()A.1B.2C.3D.無(wú)數(shù)個(gè)解析點(diǎn)B(x,y)滿(mǎn)足畫(huà)出可行域如
4、圖陰影部分,又A(1,1),B(x,y),令=x+y=t,則由t得幾何意義可知,當(dāng)過(guò)圓中B1、B2兩點(diǎn)時(shí),t的值最小,此時(shí)tmin=3,所以取最小值時(shí),點(diǎn)B的個(gè)數(shù)為2.B題型一等與不等的轉(zhuǎn)化與化歸【例1】若a、b是正數(shù),且滿(mǎn)足ab=a+b+3,求ab的取值范圍.解方法一(看成函數(shù)的值域)∵ab=a+b+3,∴即a>1或a<-3,又a>0,∴a>1,故a-1>0.當(dāng)且僅當(dāng),即a=3時(shí)取等號(hào).又a>3時(shí),是關(guān)于a的單調(diào)增函數(shù).∴ab的取值范圍是[9,+∞).方法二(看成不等式的解集)∵a,b為正數(shù),∴ab≥9.【探究拓展】將一個(gè)等式轉(zhuǎn)化成不
5、等式,是求變量取值范圍的重要方法,通常利用函數(shù)的單調(diào)性解答此類(lèi)問(wèn)題,或者利用基本不等式解答這類(lèi)問(wèn)題.變式訓(xùn)練1已知三實(shí)數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,且a+b+c=m(m是正常數(shù)),求b的取值范圍.解方法一設(shè)三個(gè)實(shí)數(shù)為由a+b+c=m,得方法二因?yàn)閍,b,c成等比數(shù)列,所以b2=ac,又a+b+c=m,所以則a、c是關(guān)于x的方程x2-(m-b)x+b2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,所以Δ=[-(m-b)]2-4b2≥0,題型二正與反的轉(zhuǎn)化與化歸【例2】試求常數(shù)m的范圍,使曲線(xiàn)y=x2的所有弦都不能被直線(xiàn)y=m(x-3)垂直平分.解由題意可知,m≠0,所以設(shè)
6、拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=m(x-3)對(duì)稱(chēng),于是有:因?yàn)榇嬖趚1∈R使上式恒成立,即12m3+2m2+1<0,也即(2m+1)(6m2-2m+1)<0.因?yàn)?m2-2m+1>0恒成立,所以2m+1<0,所以.即當(dāng)時(shí),拋物線(xiàn)上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=m(x-3)對(duì)稱(chēng).所以當(dāng)時(shí),曲線(xiàn)y=x2的所有弦都不能被直線(xiàn)y=m(x-3)垂直平分.【探究拓展】在進(jìn)行正與反的轉(zhuǎn)化時(shí),一定要搞清楚問(wèn)題的反面是什么,就本題而言,它的反面是“至少存在一條弦能被直線(xiàn)y=m(x-3)垂直平分”,進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成對(duì)稱(chēng)問(wèn)題,在解答問(wèn)題時(shí),正難則反是轉(zhuǎn)化的一種有效手段.變式訓(xùn)
7、練2已知a、b、c∈(0,1),求證:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同時(shí)大于.證明“不能同時(shí)大于”包含多種情形,不易直接證明,可用反證法證明.假設(shè)三式同時(shí)大于,∵a、b、c∈(0,1),∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a>.這與假設(shè)矛盾,故原命題正確.題型三以換元為手段的轉(zhuǎn)化與化歸【例3】已知函數(shù)f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值為g(a).(1)求g(a)的表達(dá)式;(2)若g(a)=,求實(shí)數(shù)a的值,并求此時(shí)f(x)的最大值.解(1)因f(x)=2cos2x-2acosx-2a-1令t
8、=cosx,則-1≤t≤1,(2)由題意分析得:只有一種情況,所以令,其中-2<a<2,解得a=-1,此時(shí),所以當(dāng)cosx=1,即x=2kπ(k∈Z)時(shí),函數(shù)f(x)的最大值為5.【探究拓展】通過(guò)換元將三角