蒙特卡羅簡述

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1、蒙特·卡羅方法（MonteCarlomethod）--也稱統(tǒng)計(jì)模擬方法，是二十世紀(jì)四十年代中期由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明，而被提出的一種以概率統(tǒng)計(jì)理論為指導(dǎo)的一類非常重要的數(shù)值計(jì)算方法。是指使用隨機(jī)數(shù)（或更常見的偽隨機(jī)數(shù)）來解決很多計(jì)算問題的方法。蒙特·卡羅方法（MonteCarlomethod），也稱統(tǒng)計(jì)模擬方法，是二十世紀(jì)四十年代中期由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明，而被提出的一種以概率統(tǒng)計(jì)理論為指導(dǎo)的一類非常重要的數(shù)值計(jì)算方法。是指使用隨機(jī)數(shù)（或更常見的偽隨機(jī)數(shù)）來解決很多計(jì)算問題的方法。蒙特·卡羅方法的名字來源于摩納哥的一個(gè)城市蒙地卡羅，該城市以賭博業(yè)聞

2、名，而蒙特·卡羅方法正是以概率為基礎(chǔ)的方法。與它對(duì)應(yīng)的是確定性算法。蒙特·卡羅方法在金融工程學(xué)，宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)，計(jì)算物理學(xué)(如粒子輸運(yùn)計(jì)算、量子熱力學(xué)計(jì)算、空氣動(dòng)力學(xué)計(jì)算)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。蒙特卡羅方法-基本思想當(dāng)所求解問題是某種隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的期望值時(shí)，通過某種“實(shí)驗(yàn)”的方法，以這種事件出現(xiàn)的頻率估計(jì)這一隨機(jī)事件的概率，或者得到這個(gè)隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征，并將其作為問題的解。有一個(gè)例子可以使你比較直觀地了解蒙特卡羅方法：假設(shè)我們要計(jì)算一個(gè)不規(guī)則圖形的面積，那么圖形的不規(guī)則程度和分析性計(jì)算（比如，積分）的復(fù)雜程度是成正比的。蒙特卡羅方法是怎么計(jì)算的呢？假想你

3、有一袋豆子，把豆子均勻地朝這個(gè)圖形上撒，然后數(shù)這個(gè)圖形之中有多少顆豆子，這個(gè)豆子的數(shù)目就是圖形的面積。當(dāng)你的豆子越小，撒的越多的時(shí)候，結(jié)果就越精確。蒙特卡羅方法-基本原理由概率定義知，某事件的概率可以用大量試驗(yàn)中該事件發(fā)生的頻率來估算，當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，可以認(rèn)為該事件的發(fā)生頻率即為其概率。因此，可以先對(duì)影響其可靠度的隨機(jī)變量進(jìn)行大量的隨機(jī)抽樣，然后把這些抽樣值一組一組地代入功能函數(shù)式，確定結(jié)構(gòu)是否失效，最后從中求得結(jié)構(gòu)的失效概率。蒙特卡羅法正是基于此思路進(jìn)行分析的。設(shè)有統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量Xi(i=1，2，3，…，k)，其對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)分別為FX1，fx2，…，fxk，功

4、能函數(shù)式為Z=g(x1，x2，…，xk)。首先根據(jù)各隨機(jī)變量的相應(yīng)分布，產(chǎn)生N組隨機(jī)數(shù)x1，x2，…，xk值，計(jì)算功能函數(shù)值Zi=g(x1，x2，…，xk)(i=1，2，…，N)，若其中有L組隨機(jī)數(shù)對(duì)應(yīng)的功能函數(shù)值Zi≤0，則當(dāng)N→∞時(shí)，根據(jù)伯努利大數(shù)定理及正態(tài)隨機(jī)變量的特性有：結(jié)構(gòu)失效概率，可靠指標(biāo)。從蒙特卡羅方法的思路可看出，該方法回避了結(jié)構(gòu)可靠度分析中的數(shù)學(xué)困難，不管狀態(tài)函數(shù)是否非線性、隨機(jī)變量是否非正態(tài)，只要模擬的次數(shù)足夠多，就可得到一個(gè)比較精確的失效概率和可靠度指標(biāo)。特別在巖土體分析中，變異系數(shù)往往較大，與JC法計(jì)算的可靠指標(biāo)相比，結(jié)果更為精確，并且由于思路簡單易于

5、編制程序。蒙特卡羅方法-工作過程在解決實(shí)際問題的時(shí)候應(yīng)用蒙特·卡羅方法主要有兩部分工作：1.用蒙特卡羅方法模擬某一過程時(shí)，需要產(chǎn)生各種概率分布的隨機(jī)變量。2.用統(tǒng)計(jì)方法把模型的數(shù)字特征估計(jì)出來，從而得到實(shí)際問題的數(shù)值解。蒙特卡羅方法-分子模擬計(jì)算步驟1.使用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)的分子構(gòu)型。2.對(duì)此分子構(gòu)型的其中粒子坐標(biāo)做無規(guī)則的改變，產(chǎn)生一個(gè)新的分子構(gòu)型。3.計(jì)算新的分子構(gòu)型的能量。4.比較新的分子構(gòu)型于改變前的分子構(gòu)型的能量變化，判斷是否接受該構(gòu)型。若新的分子構(gòu)型能量低于原分子構(gòu)型的能量，則接受新的構(gòu)型，使用這個(gè)構(gòu)型重復(fù)再做下一次迭代。若新的分子構(gòu)型能量高于原分子構(gòu)型的

6、能量，則計(jì)算玻爾茲曼常數(shù)，同時(shí)產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)。若這個(gè)隨機(jī)數(shù)大于所計(jì)算出的玻爾茲曼因子，則放棄這個(gè)構(gòu)型，重新計(jì)算。若這個(gè)隨機(jī)數(shù)小于所計(jì)算出的玻爾茲曼因子，則接受這個(gè)構(gòu)型，使用這個(gè)構(gòu)型重復(fù)再做下一次迭代。5.如此進(jìn)行迭代計(jì)算，直至最后搜索出低于所給能量條件的分子構(gòu)型結(jié)束。蒙特卡羅方法烏拉姆烏拉姆StanislawMareinUlam，1909～1984美國數(shù)學(xué)家。生于奧匈帝國里沃夫(現(xiàn)屬波蘭)。1933年獲里沃夫工業(yè)學(xué)院數(shù)學(xué)博士學(xué)位。1934年到歐洲旅游講學(xué)。1941年入美國籍。先后在哈佛大學(xué)、威斯康星大學(xué)、南加利福尼亞大學(xué)、科羅拉多大學(xué)任教。參與曼哈頓工程，研制原子彈；第二次世

7、界大戰(zhàn)后又參與研了制氫彈。曾當(dāng)選為美國總統(tǒng)科學(xué)顧問委員會(huì)成員、美國藝術(shù)與科學(xué)學(xué)院院士、美國全國科學(xué)院院士。1984年卒于美國科羅拉多州。烏拉姆提出的蒙特卡羅法，當(dāng)時(shí)被用于核物理研究，現(xiàn)已被廣泛地使用到許多領(lǐng)域；他用0和1兩個(gè)值定義了一個(gè)有限可加性測(cè)度的存在性，并證明了集合論中關(guān)于集合的理想的定理；他與人合作引入并研究了對(duì)稱積，引出了新的思想，證明了連續(xù)形變下某些拓?fù)湫再|(zhì)的不變式；他還研究過群論、概率論，曾與人一起引入過射影代數(shù)的概念．蒙特卡羅方法-應(yīng)用通常蒙特·卡羅方法通過構(gòu)造符合一定規(guī)則的隨機(jī)數(shù)來解決