數(shù)學高中巧學巧解大全

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1、第一部分高中數(shù)學活題巧解方法總論一、代入法若動點依賴于另一動點而運動，而點的軌跡方程已知（也可能易于求得）且可建立關(guān)系式，，于是將這個點的坐標表達式代入已知（或求得）曲線的方程，化簡后即得點的軌跡方程，這種方法稱為代入法，又稱轉(zhuǎn)移法或相關(guān)點法?！纠?】（2009年高考廣東卷）已知曲線：與直線：交于兩點和，且，記曲線C在點A和點B之間那一段L與線段AB所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為D.設點是L上的任一點，且點P與點A和點B均不重合.若點Q是線段AB的中點，試求線段PQ的中點M的軌跡方程；【巧解】聯(lián)立與得，則中點，設線段的中點坐標為，則，即，又點

2、在曲線上，∴化簡可得，又點是上的任一點，且不與點和點重合，則，即，∴中點的軌跡方程為（）.【例2】（2008年，江西卷）設在直線上，過點作雙曲線的兩條切線、，切點為、，定點M。過點A作直線的垂線，垂足為N，試求的重心G所在的曲線方程?！厩山狻吭O，由已知得到，且，，（1）垂線的方程為：，由得垂足，設重心所以解得由可得即為重心所在曲線方程巧練一：（2005年，江西卷）如圖，設拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.，求△APB的重心G的軌跡方程.巧練二：（2006年，全國I卷）

3、在平面直角坐標系中，有一個以和為焦點、離心率為的橢圓，設橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與x、y軸的交點分別為A、B，且向量，求點M的軌跡方程二、直接法直接從題設的條件出發(fā)，利用已知條件、相關(guān)公式、公理、定理、法則通過準確的運算、嚴謹?shù)耐评?、合理的驗證得出正確的結(jié)論，從而確定選擇支的方法叫直接法。從近幾年全國各地的高考數(shù)學試題來看，絕大大部分選擇題的解答用的是此法。但解題時也要“盯住選項特點”靈活做題，一邊計算，一邊對選項進行分析、驗證，或在選項中取值帶入題設計算，驗證、篩選而迅速確定答案?！纠?】（2009年高

4、考全國II卷）已知雙曲線的右焦點為F，過F且斜率為的直線交C于A、B兩點。若，則C的離心率為（）（A）（B）（C）（D）【巧解】設，，，由，得∴，設過點斜率為的直線方程為，由消去得：，∴，將代入得化簡得，∴，化簡得：，∴，，即。故本題選（A）【例2】（2008年，四川卷）設定義在上的函數(shù)滿足，若，則（）（A）13（B）2（C）（D）【巧解】∵，∴∴函數(shù)為周期函數(shù)，且，∴故選（C）巧練一：（2008年，湖北卷）若上是減函數(shù)，則b的取值范圍是（）A．B．C．D．巧練二：（2008年，湖南卷）長方體ABCD—A1B1C1D1的8個頂點在同一個球面

5、上，且AB=2，AD=AA1=1，則頂點A、B間的球面距離是（）A．B．C．D．三、定義法所謂定義法，就是直接用數(shù)學定義解題。選擇題的命題側(cè)重于對圓錐曲線定義的考查，凡題目中涉及焦半徑、通徑、準線、離心率及離心率的取值范圍等問題，用圓錐曲線的第一和第二定義解題，是一種重要的解題策略?！纠?】（2009年高考福建卷，理13）過拋物線的焦點F作傾斜角為450的直線交拋物線于A、B兩點，線段AB的長為8，則．【巧解】依題意直線的方程為，由消去得：，設，，∴，根據(jù)拋物線的定義。，，∴，∴，故本題應填2?！纠?】（2008年，山東卷，理10）設橢圓C

6、1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26.若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為（）（A）（B）（C）（D）【巧解】由題意橢圓的半焦距為，雙曲線上的點滿足　∴點的軌跡是雙曲線，其中，，∴，故雙曲線方程為，∴選（A）巧練一：（2008年，陜西卷）雙曲線的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，過F1作傾斜角為30°的直線交雙曲線右支于M點，若MF2垂直于x軸，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．巧練二：（2008年，遼寧卷）已知點P是拋物線上的一個動點，則點P到點（0，2）的距離與P到該拋物線準線的距離之和

7、的最小值為（）（A）（B）3（C）（D）四、向量坐標法向量坐標法是一種重要的數(shù)學思想方法，通過坐標化，把長度之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化成坐標之間的關(guān)系，使問題易于解決，并從一定程度上揭示了問題的數(shù)學本質(zhì)。在解題實踐中若能做到多用、巧用和活用，則可源源不斷地開發(fā)出自己的解題智慧，必能收到事半功倍的效果?！纠?】（2008年，廣東卷）在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F.若=a，=b，則=（）A．a(chǎn)+bB．a(chǎn)+bC．a(chǎn)+bD．a(chǎn)+b【巧解】如圖所示，選取邊長為2的正方形則，，，，，∴直線的方程為，聯(lián)立得

8、∴，設，則∴解之得，，∴，故本題選B【例2】已知點為內(nèi)一點，且0，則、、的面積之比等于（）A．9：4：1B．1：4：9C．3：2：1D．1：2：3【巧解】不妨設為等腰三角形，，建