材料力學(xué)小論文 圓形薄板小撓度不同約束下的撓度計算分析

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1、材料力學(xué)小論文圓形薄板小撓度不同約束下的撓度計算分析12151196梁桐1背景在材料力學(xué)課程中，第七章主要內(nèi)容是梁的彎曲變形，通過對梁進(jìn)行有限元分析，導(dǎo)出了梁在不同約束、不同受力情況下的小撓度公式。但是在實(shí)際的工程應(yīng)用中，還有另外一種比較常見的情況——薄板的受力，書中沒有討論。本文將就一種特殊情況，即圓形薄板受均布載荷情況下的小撓度計算分析。2建模計算分析2.1圓形薄板的受力模型及其基本假設(shè)查閱相關(guān)資料，并結(jié)合書本知識，先討論均布載荷為橫向軸對稱的情況，并做出如下基本變形假設(shè)：1)板彎曲時其中面保持中性，即板中面內(nèi)各點(diǎn)無伸縮和剪切變形，只有沿中面法線的撓度，只有橫向力

2、載荷；2)變形前位于中性面法線上的各點(diǎn)，變形后仍位于彈性曲面的同一法線上，且法線上各點(diǎn)間的距離不變；3)平行于中性面的各層材料互不擠壓，即板內(nèi)垂直于板面的正應(yīng)力較小，可忽略不計。則據(jù)此，使用有限元法可以推得受軸對稱橫向載荷圓形薄板小撓度彎曲微分方程為：d3wdr3+1rd2wdr2-1r2dwdr=FsD或ddr1rddrrdwdr=FsD其中Fs為距圓心距離為r處的橫向剪力，對D有：D=Eh312(1-μ2)其中h為圓形薄板的厚度，μ為材料的泊松比。2.2圓形薄板內(nèi)力計算和撓度、轉(zhuǎn)角方程將圓形薄板加上集度為q的均布載荷，如圖所示：則由靜力學(xué)平衡方程有：Fs=qr2帶

3、入撓度微分方程有：ddr1rddrrdwdr=qr2D對上式中的變量r連續(xù)三次積分得：w=qr464D+C1r24+C2lnr+C3由于r=0處的w應(yīng)該為有限值，則應(yīng)該有C2=0，最終得到：w=qr464D+C1r24+C3并由此可以得到：θ=dwdr=qr316D+C1r2其中C1、C3需由邊界調(diào)節(jié)確定。3幾種不同約束條件下的計算3.1圓周處為固定支座由于圓周處的約束為固定支座，不允許有撓度和轉(zhuǎn)角，則有邊界條件r=Rw=0θ=0則帶入撓度、轉(zhuǎn)角方程得積分常數(shù)：C1=-qR28DC3=qR464D所以有圓周固定支座的轉(zhuǎn)角、撓度方程為：θ=-qr16D(R2-r2)w=

4、q64D(R2-r2)23.2圓周處為簡單支座（不約束轉(zhuǎn)角）此時有約束條件：r=RM=0因?yàn)閐2wdr2=MD則有全部約束條件為：r=Rw=0d2wdr2=0將邊界條件帶入得：w=q64Dr4-6r2R2+5R4θ=q16Dr3-3R2r3.3圓心處為固定或簡單支座若為固定支座，此時有約束條件：r=0w=0θ=0若為簡單支座，有約束條件：r=0w=0d2wdr2=0但是帶入方程中無法解出積分常數(shù)，所以考慮特殊的方法。因?yàn)?.2中的圓周處為簡單支座的情況下，圓周處不限制轉(zhuǎn)角，這與圓心處有約束的情況相同，則用可以得到這兩種圓心約束的情況下，撓度、轉(zhuǎn)角方程的值與3.2中互為

5、相反數(shù)。4分析與總結(jié)4.1受均布載荷的圓形薄板不同約束下的撓度因?yàn)閳A心的約束情況可以等效于圓周簡單支座約束，所以本部分只討論前兩種約束的撓度。固定支座時，最大撓度在中心，為：wmax=qR464D簡單支座時，最大撓度在中心，為：wmax=5qR464D4.2結(jié)果分析1)可見固定支座時的最大撓度要小于簡單支座時的情況，所以若要減小變形，應(yīng)采用固定支座的約束形式，工程中一般使用的都是介于固定和簡單之間的約束。2)在板材的材料和載荷都確定的情況下，減小半徑和增加板的厚度都能夠減小撓度，從而減小變形。4.3總結(jié)本文通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)得到受均布載荷圓形薄板撓度的相關(guān)計算公式，再應(yīng)

6、用到兩種簡單的約束條件下，得到了撓度的計算公式。但是由于模型約束強(qiáng)度選取不同，簡單支座的撓度計算公式與資料中的結(jié)果有差別，但誤差并不大，在一定范圍內(nèi)可以得到好的結(jié)論。