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《華中師范大學(xué)實(shí)變函數(shù)實(shí)變函數(shù)2011(參考解答)(A)》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、華中師范大學(xué)2011–2012學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷（A卷）（參考解答）課程名稱實(shí)變函數(shù)課程編號83410014任課教師李工寶、何穗、劉敏思、鄭高峰題型判斷題敘述題計算題解答題總分分值15152050100得分得分評閱人一、判斷題（判斷正確、錯誤，請在括號中填“對”或“錯”。共5小題，每題3分，共5×3=15分）1、由0,1兩個數(shù)構(gòu)成的實(shí)數(shù)列全體具有可數(shù)勢（即可數(shù)基數(shù)）。（×）2、設(shè)，其中為中的一列互不相交的開區(qū)間，則一定是可數(shù)集。（×）3、設(shè)為閉集，則一定可以表示成一列開集的交集（即是型集）。（√
2、）4、設(shè)是Cantor三分集，為可測集，則是平面上的零測集。（√）5、設(shè){}是上的一列非負(fù)可測函數(shù)，則是上的Lebesgue可積函數(shù)。（×）得分評閱人二、敘述題(共5小題,每題3分，共5×3=15分)1、設(shè)G為中非空開集，請準(zhǔn)確地敘述G與中的半開半閉區(qū)間的關(guān)系（即開集的構(gòu)造定理）。解：。中非空開集G一定是可數(shù)個互不相交的半開半閉區(qū)間并集.院（系）：專業(yè)：年級：學(xué)生姓名：學(xué)號：-------------------------------------------------密--------------
3、--------------------封-----------------------------線---------------------------------------------------------2、請準(zhǔn)確地敘述反映可測函數(shù)列依測度收斂與幾乎處處收斂之間關(guān)系的Reisz定理（黎斯定理）。答：設(shè)為Lebesgue可測集，，，和都是上的幾乎處處有限的可測函數(shù)，如果于，則存在{}的一個子列{}，使得于。3、請準(zhǔn)確地敘述反映可測函數(shù)列幾乎處處收斂與一致收斂之間關(guān)系的Egoroff定理（葉果
4、洛夫定理）。答：設(shè)，（，，）和都是上的幾乎處處有限的可測函數(shù)，若，于，則，存在可測子集，使得{}在上一致收斂于，而。4、請準(zhǔn)確地敘述反映Lebesgue積分與極限可交換性的Lebesgue控制收斂定理。答：設(shè)是Lebesgue可測集，（，，）和都是上的可測函數(shù)，若（1），于；（2）存在上的非負(fù)可積函數(shù)，使得，，。則在上也Lebesgue可積，且。5、請準(zhǔn)確地敘述反映Lebesgue可積函數(shù)的重積分化累次積分的Fubini定理答：設(shè)在上可積，則（1）對幾乎所有的，作為的函數(shù)在上可積；（2）在上可積；（3
5、）。第1頁(共3頁)得分評閱人三、計算題（共2題，每題10分，共20分）1、設(shè)為中有理數(shù)全體，，求。解：因?yàn)闉榭蓴?shù)集，所以，從而于，而在上連續(xù)，且，所以由積分的惟一性和L積分與R積分的關(guān)系得。2、計算。解：令，易見在上連續(xù)，從而可測，，且，收斂，由L積分與R積分的關(guān)系，，所以，由Lebesgue控制收斂定理，。得分評閱人四、解答題（共5小題，共50分）1、（10分）設(shè)為有界可測集，則存在一列單調(diào)下降的開集，使得，。證明：由外側(cè)度的定義，對任意自然數(shù)，存在開集，使得，，令，顯然，，且，注意到有界可得，所
6、以，，證畢。-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------線---------------------------------------------------------2、（5分）若是可測集，為上的可測函數(shù)，為開集，則，是可測集。證明：因?yàn)闉殚_集，由開集的結(jié)構(gòu)，存在至多可數(shù)個互不相交的開區(qū)間，，使得，所以又因?yàn)闉樯系?/p>
7、可測函數(shù)，所以為可測集，從而為可測集。3、（10分）設(shè)是可測集，為上的Lebesgue可積函數(shù)，記對任意，，證明：。證明：因?yàn)?，而所以，，故由積分的絕對連續(xù)性，即。第2頁(共3頁)-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------線------------------------------------------------
8、---------4、（10分）設(shè)為上幾乎處處有限的可測函數(shù)列，于，證明：于。證明：記，，則，。反證。倘若于，則存在，及子列，使得（*）由題設(shè)條件和Reisz定理，存在的子列，使得于。注意到是連續(xù)函數(shù)可得，于。所以由Lebesgue定理，于，這與（*）式矛盾，故結(jié)論成立。證畢。5、（15分）設(shè)為可測集，為上的實(shí)函數(shù)，（1）若對幾乎所有的，都是在上的連續(xù)函數(shù)；對任取的，都是在上的可測函數(shù)，證明：對于任何上的實(shí)值可測函數(shù)，也是上的可測函數(shù)。（2）設(shè)還滿足：存
