實(shí)變函數(shù)習(xí)題解答

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1、第一章習(xí)題解答1、證明A(BC)＝(AB)(AC)證明：設(shè)xA(BC)，則xA或x(BC)，若xA，則xAB，且xAC，從而x(AB)(AC)。若xBC，則xB且xC，于是xAB且xAC，從而x(AB)(AC)，因此A(BC)(AB)(AC)……………(1)設(shè)x(AB)(AC)，若xA，則xA(BC)，若xA，由xAB且xAC知xB且xC，所以xBC，所以xA(BC)，因此(AB)(AC)A(BC)……………(2)由(1)、(2)得，A(BC)＝(AB)(AC)。2、證明①A－B＝A－(AB)＝(AB)－B

2、②A(B－C)＝(AB)－(AC)③(A－B)－C＝A－(BC)④A－(B－C)＝(A－B)(AC)84⑤(A－B)(C－D)＝(AC)－(BD)⑥A－(A－B)＝AB證明：①A－(AB)＝AC(AB)＝A(CACB)＝(ACA)(ACB)＝(ACB)＝A－B(AB)－B＝(AB)CB＝(ACB)(BCB)＝(ACB)＝A－B②(AB)－(AC)＝(AB)C(AC)＝(AB)(CACC)＝(ABCA)(ABCC)＝[A(BCC)]＝A(B－C)③(A－B)－C＝(ACB)CC＝AC(BC)＝A－(BC)④A

3、－(B－C)＝AC(BCC)＝A(CBC)＝(ACB)(AC)＝(A－B)(AC)⑤(A－B)(C－D)＝(ACB)(CCD)＝(AC)(CBCD)＝(AC)C(BD)＝(AC)－(BD)⑥A－(A－B)＝AC(ACB)＝A(CAB)＝(ACA)(AB)＝(AB)＝AB3、證明：(AB)－C＝(A－C)(B－C)85A－(BC)＝(A－B)(A－C)證明：(AB)－C＝(AB)CC＝(ACC)(BCC)＝(A－C)(B－C)(A－B)(A－C)＝(ACB)(ACC)＝(AA)(CBCC)＝AC(BC)＝A－

4、(BC)4、證明：()＝證明：設(shè)()，則，于是，、，從而，所以，，所以，()。86設(shè)，則、，即，于是，，即()，所以()，由以上兩步得()=5、證明：①()－B＝(－B)②()－B＝(－B)證明：①()－B＝()CB＝(CB)＝(－B)②()－B＝()CB=(CB)＝(－B)876、設(shè){}是一列集合，作=，=-()>1。證明是一列互不相交的集，而且=，=1，2，3，…。證明：設(shè)≠，不妨設(shè)<，因?yàn)?，[-()]=[(C)]=[C(C)]=(C)(C)=()=∴=，{}互不相交。∵，∴=。88另一方面，設(shè)，則存在

5、最小的自然數(shù)，使，，∴-=，∴∴=。7、設(shè)=(0，)，=(0，)，=1，2，…，求出集列{}的上限集和下限集。解：?！?(0，)，=(0，)，∴。=()==(0，)=(0，∞)==(0，∞)=(0，∞)=()=89=(0，)=∴===。8、證明：=證明：，≥，有，，∴=。9、作出一個(gè)(－1，1)和(－∞，＋∞)的1—1對(duì)應(yīng)，并寫(xiě)出這一對(duì)應(yīng)的解析表達(dá)式。解：y=tg，(－1，1)，y(－∞，＋∞)。10、證明將球面去掉一點(diǎn)以后，余下的點(diǎn)所成的集合和整個(gè)平面上的點(diǎn)所成的集合是對(duì)等的。90證明：用P表示在球面上挖

6、去的那一點(diǎn)，P與球心O的連線交球面于M，過(guò)M作球面的切平面，過(guò)P點(diǎn)和球面上任一點(diǎn)引直線，該直線與平面交于，將與對(duì)應(yīng)，P與M對(duì)應(yīng)，則球面上的點(diǎn)與整個(gè)平面上的點(diǎn)用上述方法構(gòu)成一個(gè)一一對(duì)應(yīng)，由對(duì)等的定義，挖去一點(diǎn)的球面與平面是對(duì)等的。11、證明由直線上互不相交的開(kāi)區(qū)間作為集A的元素，則A至多為可數(shù)集。證明：由有理數(shù)的稠密性知，在每一區(qū)間中至少含有一個(gè)有理數(shù)，在每一開(kāi)區(qū)間中任取一有理數(shù)與該區(qū)間對(duì)應(yīng)，由于開(kāi)區(qū)間互不相交，故不同開(kāi)區(qū)間對(duì)應(yīng)不同的有理數(shù)，但有理數(shù)全體為一可數(shù)集，其子集至多是可數(shù)集，所以直線上互不相交的開(kāi)區(qū)

7、間作成的集至多是可數(shù)集。12、證明所有系數(shù)為有理數(shù)的多項(xiàng)式組成一可數(shù)集。證明：以表示這個(gè)集合，表示次有理系數(shù)多項(xiàng)式的全體，則=。91由+1個(gè)獨(dú)立記號(hào)，即次多項(xiàng)式的＋1個(gè)有理系數(shù)所決定，其中首項(xiàng)系數(shù)為異于0的有理數(shù)，其余系數(shù)可取一切有理數(shù)，因此，每個(gè)記號(hào)獨(dú)立地跑遍一個(gè)可數(shù)集，所以，是可數(shù)集，也是可數(shù)集。13、設(shè)A是平面上以有理點(diǎn)（坐標(biāo)為有理數(shù)的點(diǎn)）為中心，有理數(shù)為半徑的圓的全體，則A是可數(shù)集。證明：A中任一元素由三個(gè)獨(dú)立記號(hào)（a，b，r）所決定，其中（a，b）是圓心的坐標(biāo)，r是圓的半徑，a、b各自跑遍全體有理

8、數(shù)，r跑遍大于0的有理數(shù)，而且它們都是可數(shù)集，故A是可數(shù)集。14、證明單調(diào)增加函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)最多只有可數(shù)多個(gè)。證明：設(shè)是(－∞，＋∞)上的單調(diào)增加函數(shù)，其不連續(xù)點(diǎn)的全體記為E，設(shè)E，由數(shù)學(xué)分析知，必為第一類(lèi)不連續(xù)點(diǎn)，即其左、右極限、必存在，且<，這樣，每個(gè)不連續(xù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)開(kāi)區(qū)間(，)，且這些開(kāi)區(qū)間互不相交。由11題知，這些開(kāi)區(qū)間最多有可數(shù)多個(gè)，所以，E最多是一個(gè)可數(shù)集。