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1、....基于Burg算法的AR模型功率譜估計簡介摘要：在對隨機信號的分析中，功率譜估計是一類重要的參數(shù)研究，功率譜估計的方法分為經(jīng)典譜法和參數(shù)模型方法。參數(shù)模型方法是利用型號的先驗知識，確定信號的模型，然后估計出模型的參數(shù)，以實現(xiàn)對信號的功率譜估計。根據(jù)wold定理,AR模型是比較常用的模型，根據(jù)Burg算法等多種方法可以確定其參數(shù)。關(guān)鍵詞：功率譜估計；AR模型；Burg算法隨機信號的功率譜反映它的頻率成分以及各成分的相對強弱,能從頻域上揭示信號的節(jié)律,是隨機信號的重要特征。因此,用數(shù)字信號處理手段來
2、估計隨機信號的功率譜也是統(tǒng)計信號處理的基本手段之一。在信號處理的許多應(yīng)用中,常常需要進(jìn)行譜估計的測量。例如,在雷達(dá)系統(tǒng)中,為了得到目標(biāo)速度的信息需要進(jìn)行譜測量;在聲納系統(tǒng)中,為了尋找水面艦艇或潛艇也要對混有噪聲的信號進(jìn)行分析?？傊?在許多應(yīng)用領(lǐng)域中,例如,雷達(dá)、聲納、通訊聲學(xué)、語言等領(lǐng)域,都需要對信號的基本參數(shù)進(jìn)行分析和估計,以得到有用的信息,其中,譜分析就是一類最重要的參數(shù)研究。1功率譜估計簡介一個寬平穩(wěn)隨機過程的功率譜是其自相關(guān)序列的傅里葉變換，因此功率譜估計就等效于自相關(guān)估計。對于自相關(guān)各態(tài)遍歷
3、的過程，應(yīng)有：如果所有的都是已知的，理論上功率譜估計就很簡單了，只需要對其自相關(guān)序列取傅里葉變換就可以了。但是，這種方法有兩個個很大的問題：一是不是所有的信號都是平穩(wěn)信號，而且有用的數(shù)據(jù)量可能只有很少的一部分；二是數(shù)據(jù)中通常都會有噪聲或群其它干擾信號。因此，譜估計就是用有限個含有噪聲的觀測值來估計。譜估計的方法一般分為兩類。第一類稱為經(jīng)典方法或參數(shù)方法，它首先由給定的數(shù)據(jù)估計自相關(guān)序列，然后對估計出的進(jìn)行傅里葉變換獲得功率譜估計。第二類稱為非經(jīng)典法，或參數(shù)模型法，是基于信號的一個隨機模型來估計功率譜。
4、非參數(shù)譜估計的缺陷是其頻率分辨率低，估計的方差特性不好,而且估計值沿頻率軸的起伏甚烈，數(shù)據(jù)越長,這一現(xiàn)象越嚴(yán)重。為了改善譜分辨率，研究學(xué)者對基于模型的參數(shù)方法進(jìn)行了大量研究。參數(shù)方法的第一步是對信號選擇一個合適的模型，這種選擇可能是基于有關(guān)信號如何產(chǎn)生的先驗知識，也可能是多次試驗后獲得的結(jié)果。通常采用的模型包括AR、MA、ARMA專業(yè)....模型和諧波模型（噪聲中含有復(fù)指數(shù)）。一旦模型選擇好后，下一步就是計算模型的參數(shù)。最后將計算得到的參數(shù)帶入模型中就可以獲得估計功率譜。2AR譜估計2.1簡介AR模型
5、叫做自回歸模型,信號由本身的若干次過去值和激勵時的現(xiàn)實值線性組合產(chǎn)生,由于傳遞函數(shù)中只有極點,沒有零點,所以又叫作全極點模型。MA模型叫做移動平均模型,信號由現(xiàn)時的激勵和若干次過去值線性組合產(chǎn)生,由于傳遞函數(shù)中只有零點,沒有極點,所以又叫作全零點模型。ARMA模型叫做自回歸移動平均模型,它是前兩種模型的結(jié)合,因為它既有極點又有零點,所以也叫做極零點模型。根據(jù)wold定理,即任何ARMA過程,或者任何MA過程都能用無限的AR過程表示。如果在三種模型中選擇了一個錯誤的模型,我們?nèi)匀豢梢酝ㄟ^一個很高的階數(shù)獲
6、得一個合理的逼近。因此,MA、ARMA模型可以用一個足夠高階的AR模型來近似。AR譜估計是最常用的時間序列建模方法,這是因為AR參數(shù)的精確估計值可以用一組線性方程的方法求得,而對于ARMA或MA過程參數(shù)的精確計算,則需要解一組高階非線性方程,。正是由于這個緣故,有關(guān)有理式傳遞函數(shù)的許多研究工作都喜歡采用AR模型作近似研究。一個AR過程可以表示為單位方差白噪聲的驅(qū)動的全極點濾波器的輸出，p階AR過程的功率譜是：因此，若和可以由數(shù)據(jù)進(jìn)行估計，則功率譜估計可以寫成如下形式;顯然，的精確程度決定于模型參數(shù)能多
7、準(zhǔn)確地被估計，且更重要的是取決于選擇的AR模型是否與數(shù)據(jù)產(chǎn)生的方式相一致。確定AR模型系數(shù)的方法有很多，每種方法會得出不同的的參數(shù)，但是最終實現(xiàn)的方式是完全相同，利用的是同一個估計形式。常用的估計方法有：Lenvinson-Durbin方法、Burg方法、無約束最小二乘法等等。2.2Burg算法AR模型參數(shù)估計這里主要對Burg算法進(jìn)行介紹。這種方法通常稱為最大熵法（MEM）。Burg通過最大化觀測序列的熵，得到這種方法，定義為：式中觀測數(shù)據(jù)序列假定為帶寬的靜態(tài)高斯過程，是一個實的正函數(shù)，最大化式專業(yè)
8、....，并受限于自相關(guān)采樣的約束過程，即：這個優(yōu)化結(jié)果可以用來計算最小二乘估計，它涉及觀測數(shù)據(jù)前向和后向預(yù)測的MSE之和。計算中，預(yù)測系數(shù)必須滿足Lenvinson-Durbin遞推關(guān)系，并且可直接計算而無需首先計算自相關(guān)系數(shù)。這種方法的優(yōu)點就是對未知數(shù)據(jù)不需要做任何假設(shè)，估計精度較高。其缺點是在分析噪聲中的正弦信號時，會引起譜線分裂，且譜峰的位置和正弦信號的相位有很大的關(guān)系。Burg算法是使前向預(yù)測誤差和后向預(yù)測誤差均方誤差之和最小來求取Km的，它不
