ar模型的功率譜估計(jì)burg算法的分析與仿真論文

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1、AR模型的功率譜估計(jì)BURG算法的分析與仿真錢平（信號(hào)與信息處理S101904010）一．引言現(xiàn)代譜估計(jì)法主要以隨機(jī)過(guò)程的參數(shù)模型為基礎(chǔ)，也可以稱其為參數(shù)模型方法或簡(jiǎn)稱模型方法。現(xiàn)代譜估計(jì)技術(shù)的研究和應(yīng)用主要起始于20世紀(jì)60年代，在分辨率的可靠性和濾波性能方面有較大進(jìn)步。目前，現(xiàn)代譜估計(jì)研究側(cè)重于一維譜分析，其他如多維譜估計(jì)、多通道譜估計(jì)、高階譜估計(jì)等的研究正在興起，特別是雙譜和三譜估計(jì)的研究受到重視，人們希望這些新方法能在提取信息、估計(jì)相位和描述非線性等方面獲得更多的應(yīng)用。現(xiàn)代譜估計(jì)從方法上大致可分為參數(shù)模型譜估計(jì)和非參數(shù)模型譜估計(jì)

2、兩種?；趨?shù)建摸的功率譜估計(jì)是現(xiàn)代功率譜估計(jì)的重要內(nèi)容，其目的就是為了改善功率譜估計(jì)的頻率分辨率，它主要包括AR模型、MA模型、ARMA模型，其中基于AR模型的功率譜估計(jì)是現(xiàn)代功率譜估計(jì)中最常用的一種方法，這是因?yàn)锳R模型參數(shù)的精確估計(jì)可以通過(guò)解一組線性方程求得，而對(duì)于MA和ARMA模型功率譜估計(jì)來(lái)說(shuō)，其參數(shù)的精確估計(jì)需要解一組高階的非線性方程。在利用AR模型進(jìn)行功率譜估計(jì)時(shí)，必須計(jì)算出AR模型的參數(shù)和激勵(lì)白噪聲序列的方差。這些參數(shù)的提取算法主要包括自相關(guān)法、Burg算法、協(xié)方差法、改進(jìn)的協(xié)方差法，以及最大似然估計(jì)法。本章主要針對(duì)采用

3、AR模型的兩種方法：Levinson-Durbin遞推算法、Burg遞推算法。實(shí)際中，數(shù)字信號(hào)的功率譜只能用所得的有限次記錄的有限長(zhǎng)數(shù)據(jù)來(lái)予以估計(jì)，這就產(chǎn)生了功率譜估計(jì)這一研究領(lǐng)域。功率譜的估計(jì)大致可分為經(jīng)典功率譜估計(jì)和現(xiàn)代功率譜估計(jì)，針對(duì)經(jīng)典譜估計(jì)的分辨率低和方差性能不好等問(wèn)題提出了現(xiàn)代譜估計(jì)，AR模型譜估計(jì)就是現(xiàn)代譜估計(jì)常用的方法之一。信號(hào)的頻譜分析是研究信號(hào)特性的重要手段之一，通常是求其功率譜來(lái)進(jìn)行頻譜分析。功率譜反映了隨機(jī)信號(hào)各頻率成份功率能量的分布情況，可以揭示信號(hào)中隱含的周期性及靠得很近的譜峰等有用信息，在許多領(lǐng)域都發(fā)揮了重

4、要作用。然而，實(shí)際應(yīng)用中的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)通常是有限長(zhǎng)的，只能根據(jù)有限長(zhǎng)信號(hào)估計(jì)原信號(hào)的真實(shí)功率譜，這就是功率譜估計(jì)。二．AR模型的構(gòu)建假定u(n)、x(n)都是實(shí)平穩(wěn)的隨機(jī)信號(hào)，u(n)為白噪聲，方差為，現(xiàn)在，我們希望建立AR模型的參數(shù)和x(n)的自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系，也即AR模型的正則方程(normalequation)。由(1)由于u(n)是方差為的白噪聲，有（2）由Z變換的定義，，當(dāng)時(shí)，有h(0)=1。綜合（1）及（2）兩式，（3）在上面的推導(dǎo)中，應(yīng)用了自相關(guān)函數(shù)的偶對(duì)稱性。上式可寫成矩陣式：(4)（4）上述兩式即是AR模型的正則方程，

5、又稱Yule-Walker方程。系數(shù)矩陣不但是對(duì)稱的，而且沿著和主對(duì)角線平行的任一條對(duì)角線上的元素都相等，這樣的矩陣稱為Toeplitz矩陣。若x(n)是復(fù)過(guò)程，那么，系數(shù)矩陣是Hermitian對(duì)稱的Toeplitz矩陣。（4）式可簡(jiǎn)單地表示為式中，為全零列向量，R是的自相關(guān)矩陣?？梢钥闯觯粋€(gè)p階的AR模型共有p+1個(gè)參數(shù)，即，只要知道x(n)的前p+1個(gè)自相關(guān)函數(shù)，由(1)，(2)及(3)式的線性方程組即可求出這p+1個(gè)參數(shù)，即可求出x(n)的功率譜。三．AR模型階數(shù)的選擇AR模型的階次p一般事先是不知道的，需要事先選定一個(gè)稍大的

6、值，在遞推的過(guò)程中確定。在使用Levinson遞推時(shí)，可以給出由低階到高階的每一組參數(shù)，且模型的最小預(yù)測(cè)誤差功率是遞減的。直觀上講，當(dāng)達(dá)到所指定的希望值，或是不再發(fā)生變化時(shí)，其時(shí)的階次即是應(yīng)選的正確階次。因?yàn)槭菃握{(diào)下降的，因此，的值降到多少才合適，往往不好選擇。為此，有幾個(gè)不同的準(zhǔn)則被提出，其中較常用的兩個(gè)是：最終預(yù)測(cè)誤差準(zhǔn)則：(1)(2)信息論準(zhǔn)則：式中N為數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度，當(dāng)階次k由1增加時(shí)，F(xiàn)PE(k)和AIC(k)都將在某一個(gè)k處取得極小值。將此時(shí)的k定為最合適的階次p。在實(shí)際運(yùn)用時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)數(shù)據(jù)較短時(shí)，它們給出的階次偏低，且二者給出的

7、結(jié)果基本上是一致的。應(yīng)該指出，上面兩式僅為階次的選擇提供了一個(gè)依據(jù)，對(duì)所研究的某一個(gè)具體信號(hào)x(n)，究竟階次取多少為最好，還要在實(shí)踐中所得到的結(jié)果作多次比較后，予以確定。四．Burg算法的理論分析Burg算法是較早提出的建立在數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的AR系數(shù)求解的有效算法[7]。其特點(diǎn)是：(1)令前后向預(yù)測(cè)誤差功率（5）為最小。(2)和的求和范圍從p至N-1，即，前后都不加窗，這時(shí)（6）在上式中，階次m由1至p時(shí)，（7）下式的遞推關(guān)系，即（8）（9）（10）式中。這樣，(5)式的僅是反射系數(shù)的函數(shù)。在階次m時(shí)，令相對(duì)為最小，即可估計(jì)出反射系數(shù)。將

8、(6)、(7)及(8)式代入(5)式，令，可得使為最小的為式中。按此式估計(jì)出的滿足。按上式估計(jì)出后，在階次m時(shí)的AR模型系數(shù)仍然由Levinson算法遞推求出（11）（12）式中。上面三式是假定在第(m-1