牛吃草問(wèn)題經(jīng)典例題

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1、精心整理英國(guó)大數(shù)學(xué)家牛頓曾編過(guò)這樣一道數(shù)學(xué)題：牧場(chǎng)上有一片青草，每天都生長(zhǎng)得一樣快。這片青草供給10頭牛吃，可以吃22天，或者供給16頭牛吃，可以吃10天，如果供給25頭牛吃，可以吃幾天？? 　　解題關(guān)鍵：? 　　牛頓問(wèn)題，俗稱(chēng)“牛吃草問(wèn)題”，牛每天吃草，草每天在不斷均勻生長(zhǎng)。解題環(huán)節(jié)主要有四步：? 　　1、求出每天長(zhǎng)草量；? 　　2、求出牧場(chǎng)原有草量；? 　　3、求出每天實(shí)際消耗原有草量(牛吃的草量--生長(zhǎng)的草量=消耗原有草量)；? 　　4、最后求出可吃天數(shù)? 　　想：這片草地天天以同樣的速度生長(zhǎng)是分析問(wèn)題的難點(diǎn)。把10

2、頭牛22天吃的總量與16頭牛10天吃的總量相比較，得到的10×22-16×10=60，是60頭牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5頭牛一天吃的草，也就是每天新長(zhǎng)出的草。求出了這個(gè)條件，把25頭牛分成兩部分來(lái)研究，用5頭吃掉新長(zhǎng)出的草，用20頭吃掉原有的草，即可求出25頭牛吃的天數(shù)。? 　　解：新長(zhǎng)出的草供幾頭牛吃1天：? 　?。?0×22-16×1O）÷(22-1O）? 　　=（220-160）÷12? 　　=60÷12? 　　=5（頭）? 　　這片草供25頭牛吃的天數(shù)：? 　?。?0-5）×22÷（25-5

3、）? 　　=5×22÷20? 　　=5.5（天）? 　　答：供25頭?？梢猿?.5天。? ----------------------------------------------------------------? “一堆草可供10頭牛吃3天，這堆草可供6頭牛吃幾天？”這道題太簡(jiǎn)單了，一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。如果我們把“一堆草”換成“一片正在生長(zhǎng)的草地”，問(wèn)題就不那么簡(jiǎn)單了，因?yàn)椴菝刻於荚谏L(zhǎng)，草的數(shù)量在不斷變化。這類(lèi)工作總量不固定（均勻變化）的問(wèn)題就是牛吃草問(wèn)題。? 　　? 例1牧場(chǎng)上一片青草，每天牧

4、草都勻速生長(zhǎng)。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問(wèn)：可供25頭牛吃幾天？? 　　分析與解：這類(lèi)題難就難在牧場(chǎng)上草的數(shù)量每天都在發(fā)生變化，我們要想辦法從變化當(dāng)中找到不變的量?？偛萘靠梢苑譃槟翀?chǎng)上原有的草和新生長(zhǎng)出來(lái)的草兩部分。牧場(chǎng)上原有的草是不變的，新長(zhǎng)出的草雖然在變化，因?yàn)槭莿蛩偕L(zhǎng)，所以這片草地每天新長(zhǎng)出的草的數(shù)量相同，即每天新長(zhǎng)出的草是不變的。下面，就要設(shè)法計(jì)算出原有的草量和每天新長(zhǎng)出的草量這兩個(gè)不變量。? 　　設(shè)1頭牛一天吃的草為1份。那么，10頭牛20天吃200份，草被吃完；15頭牛10天吃1

5、50份，草也被吃完。前者的總草量是200份，后者的總草量是150份，前者是原有的草加20天新長(zhǎng)出的草，后者是原有的草加10天新長(zhǎng)出的草。? 　　200－150＝50（份），20—10＝10（天），? 精心整理　　說(shuō)明牧場(chǎng)10天長(zhǎng)草50份，1天長(zhǎng)草5份。也就是說(shuō)，5頭牛專(zhuān)吃新長(zhǎng)出來(lái)的草剛好吃完，5頭牛以外的牛吃的草就是牧場(chǎng)上原有的草。由此得出，牧場(chǎng)上原有草? 　?。╨0—5）×20＝100（份）或（15—5）×10＝100（份）。? 　　現(xiàn)在已經(jīng)知道原有草100份，每天新長(zhǎng)出草5份。當(dāng)有25頭牛時(shí)，其中的5頭專(zhuān)吃新長(zhǎng)出來(lái)的草

6、，剩下的20頭吃原有的草，吃完需100÷20＝5（天）。? 　　所以，這片草地可供25頭牛吃5天。? 　　在例1的解法中要注意三點(diǎn)：? 　?。?）每天新長(zhǎng)出的草量是通過(guò)已知的兩種不同情況吃掉的總草量的差及吃的天數(shù)的差計(jì)算出來(lái)的。? 　?。?）在已知的兩種情況中，任選一種，假定其中幾頭牛專(zhuān)吃新長(zhǎng)出的草，由剩下的牛吃原有的草，根據(jù)吃的天數(shù)可以計(jì)算出原有的草量。? 　?。?）在所求的問(wèn)題中，讓幾頭牛專(zhuān)吃新長(zhǎng)出的草，其余的牛吃原有的草，根據(jù)原有的草量可以計(jì)算出能吃幾天。? 　　? 例2一個(gè)水池裝一個(gè)進(jìn)水管和三個(gè)同樣的出水管。先打開(kāi)

7、進(jìn)水管，等水池存了一些水后，再打開(kāi)出水管。如果同時(shí)打開(kāi)2個(gè)出水管，那么8分鐘后水池空；如果同時(shí)打開(kāi)3個(gè)出水管，那么5分鐘后水池空。那么出水管比進(jìn)水管晚開(kāi)多少分鐘？? 分析：雖然表面上沒(méi)有“牛吃草”，但因?yàn)榭偟乃吭诰鶆蜃兓?，“水”相?dāng)于“草”? 進(jìn)水管進(jìn)的水相當(dāng)于新長(zhǎng)出的草，出水管排的水相當(dāng)于牛在吃草，所以也是牛吃草問(wèn)題，解法自然也與例1相似。? 　　出水管所排出的水可以分為兩部分：一部分是出水管打開(kāi)之前原有的水量，另一部分是開(kāi)始排水至排空這段時(shí)間內(nèi)進(jìn)水管放進(jìn)的水。因?yàn)樵械乃渴遣蛔兊?，所以可以從比較兩次排水所用的時(shí)間及

8、排水量入手解決問(wèn)題。? 　　設(shè)出水管每分鐘排出水池的水為1份，則2個(gè)出水管8分鐘所排的水是2×8＝16（份），3個(gè)出水管5分鐘所排的水是3×5＝15（份），這兩次排出的水量都包括原有水量和從開(kāi)始排水至排空這段時(shí)間內(nèi)的進(jìn)水量。兩者相減就是在8-5=3（分）內(nèi)所放進(jìn)的水量，所以每分鐘的進(jìn)水量是? (16-1