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1、能量泄漏,窗函數(shù)背景6.4.1?信號截斷及能量泄漏效應(yīng)? 數(shù)字信號處理的主要數(shù)學(xué)工具是傅里葉變換。應(yīng)注意到,傅里葉變換是研究整個時間域和頻率域的關(guān)系。然而,當(dāng)運用計算機實現(xiàn)工程測試信號處理時,不可能對無限長的信號進行測量和運算,而是取其有限的時間片段進行分析。做法是從信號中截取一個時間片段,然后用觀察的信號時間片段進行周期延拓處理,得到虛擬的無限長的信號,然后就可以對信號進行傅里葉變換、相關(guān)分析等數(shù)學(xué)處理。?圖6.4-1 周期延拓后的信號與真實信號是不同的,下面從數(shù)學(xué)的角度來看這種處理帶來的誤差情況。設(shè)有余弦信號x(t)在時域分布為無限
2、長(-∞,∞),當(dāng)用矩形窗函數(shù)w(t)與其相乘時,得到截斷信號xT(t)=x(t)w(t)。根據(jù)博里葉變換關(guān)系,余弦信號的頻譜X(ω)是位于ω。處的δ函數(shù),而矩形窗函數(shù)w(t)的譜為sinc(ω)函數(shù),按照頻域卷積定理,則截斷信號xT(t)的譜XT(ω)?應(yīng)為 將截斷信號的譜XT(ω)與原始信號的譜X(ω)相比較可知,它已不是原來的兩條譜線,而是兩段振蕩的連續(xù)譜。這表明原來的信號被截斷以后,其頻譜發(fā)生了畸變,原來集中在f0處的能量被分散到兩個較寬的頻帶中去了,這種現(xiàn)象稱之為頻譜能量泄漏(Leakage)。?讀者注:(這是以正弦信號為例,正
3、弦信號的的頻譜為兩條線,一個而矩形窗函數(shù)w(t)的譜為sinc(ω)函數(shù),在時域,是截取,在頻域,頻譜畸變了)信號截斷以后產(chǎn)生的能量泄漏現(xiàn)象是必然的,因為窗函數(shù)w(t)是一個頻帶無限的函數(shù),所以即使原信號x(t)是限帶寬信號,而在截斷以后也必然成為無限帶寬的函數(shù),即信號在頻域的能量與分布被擴展了。又從采樣定理可知,無論采樣頻率多高,只要信號一經(jīng)截斷,就不可避免地引起混疊,因此信號截斷必然導(dǎo)致一些誤差,這是信號分析中不容忽視的問題。?讀者注:(Nyquist律:采樣高于信號頻率兩倍,但是截取導(dǎo)致了很多高頻的分量)怎么辦,怎么改進這個問題呢??
4、???????????????????????????如果增大截斷長度T,即矩形窗口加寬,則窗譜W(ω)將被壓縮變窄(π/T減?。?。雖然理論上講,其頻譜范圍仍為無限寬,但實際上中心頻率以外的頻率分量衰減較快,因而泄漏誤差將減小。當(dāng)窗口寬度T趨于無窮大時,則譜窗W(ω)將變?yōu)棣模é兀┖瘮?shù),而δ(ω)與X(ω)的卷積仍為H(ω),這說明,如果窗口無限寬,即不截斷,就不存在泄漏誤差。?為了減少頻譜能量泄漏,可采用不同的截取函數(shù)對信號進行截斷,截斷函數(shù)稱為窗函數(shù),簡稱為窗。泄漏與窗函數(shù)頻譜的兩側(cè)旁瓣有關(guān),如果兩側(cè)p旁瓣的高度趨于零,而使能量相對集中
5、在主瓣,就可以較為接近于真實的頻譜,為此,在時間域中可采用不同的窗函數(shù)來截斷信號。?6.4.2常用窗函數(shù)實際應(yīng)用的窗函數(shù),可分為以下主要類型:冪窗:采用時間變量某種冪次的函數(shù),如矩形、三角形、梯形或其它時間函數(shù)x(t)的高次冪;三角函數(shù)窗:應(yīng)用三角函數(shù),即正弦或余弦函數(shù)等組合成復(fù)合函數(shù),例如漢寧窗、海明窗等;?指數(shù)窗。。:采用指數(shù)時間函數(shù),如e-st形式,例如高斯窗等。(l)矩形窗? 矩形窗屬于時間變量的零次冪窗,函數(shù)形式為相應(yīng)的窗譜為 矩形窗使用最多,習(xí)慣上不加窗就是使信號通過了矩形窗。這種窗的優(yōu)點是主瓣比較集中,缺點是旁瓣較高,并有
6、負旁瓣(下圖所示),導(dǎo)致變換中帶進了高頻干擾和泄漏,甚至出現(xiàn)負譜現(xiàn)象。圖6.4-3(2)三角窗?。。三角窗亦稱費杰(Fejer)窗,是冪窗的一次方形式,其定義為相應(yīng)的窗譜為。。三角窗與矩形窗比較,主瓣寬約等于矩形窗的兩倍,但旁瓣小,而且無負旁瓣,如下圖所示。?漢寧(Hanning)窗? 漢寧窗又稱升余弦窗,其時域表達式為:相應(yīng)的窗譜為:由此式可以看出,漢寧窗可以看作是3個矩形時間窗的頻譜之和,或者說是3個sine(t)型函數(shù)之和,而括號中的兩項相對于第一個譜窗向左、右各移動了π/T,從而使旁瓣互相抵消,消去高頻干擾和漏能。? ? 下圖
7、表示漢寧窗與矩形窗的譜圖對比,可以看出,漢寧窗主瓣加寬(第一個零點在2π/T處)并降低,旁瓣則顯著減?。谝粋€旁瓣衰減一32dB,而矩形窗第一個旁瓣衰減一13dB.此外,漢寧窗的旁瓣衰減速度也較快,約為60dB/(10oct),而矩形窗為20dB/(10oct)。由以上比較可知,從減小泄漏觀點出發(fā),漢寧窗優(yōu)于矩形窗.但漢寧窗主瓣加寬,相當(dāng)于分析帶寬加寬,頻率分辨力下降.?4)海明(Hamming)窗????海明窗也是余弦窗的一種,又稱改進的升余弦窗,其時間函數(shù)表達式為:其窗譜為:海明窗與漢寧窗都是余弦窗,只是加權(quán)系數(shù)不同。海明窗加權(quán)的系數(shù)能
8、使旁瓣達到更小。分析表明,海明窗的第一旁瓣衰減為一42dB.海明窗的頻譜也是由3個矩形時窗的頻譜合成,但其旁瓣衰減速度為20dB/(10oct),這比漢寧窗衰減速度慢。海明窗與漢