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《巧求平面法向量(方程法)》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、巧求平面法向量在空間直角坐標(biāo)系中，平面的一般方程是（其中系數(shù)a,b,c不同時(shí)為零），則向量為平面的法向量。根據(jù)這一原理，我們可以按下列方法求平面的法向量。定理1：若平面α不經(jīng)過原點(diǎn),，取平面α內(nèi)不共線的三點(diǎn)A、B、C，將其分別坐標(biāo)代入關(guān)于的方程（等號右邊的1也可以是其它任意非零常數(shù)），求出系數(shù)a,b,c的一組值，則向量為平面α的法向量定理2：若平面α經(jīng)過原點(diǎn),取平面α內(nèi)與原點(diǎn)不共線的兩點(diǎn)A、B，將其坐標(biāo)代入關(guān)于的方程，求出系數(shù)a,b,c的一組值，則向量為平面α的法向量。例1：已知如圖正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱長AA1=2
2、，AB=1，按圖中所建立的坐標(biāo)系，求平面BDC1，平面A1BC1，平面ABC1D1的法向量。解（1）因?yàn)槠矫鍮DC1過原點(diǎn)D,將點(diǎn)B(1,1,0),C1(0，1，2)代入得：所以。不妨設(shè)c=1,可得b=－2,a=2。所以是平面BDC1的法向量A1B1C1D1ABCDExyz（2）因?yàn)槠矫鍭1BC1不過原點(diǎn)D,將點(diǎn)A1(1,0,2),B（1，1，0）C1(0，1，2)代入得：所以所以為平面BDC1的法向量(3)因?yàn)槠矫鍭BC1D1不過原點(diǎn)D,將A1(1,0,2),B（1，1，0）C1(0，0，2)代入1代入得所以是平面ABC1D1的法
3、向量。例2（2010·天津）如圖，在長方體中，、分別是棱,上的點(diǎn)，,（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）證明平面（3）求二面角的正弦值。解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè),依題意得,,,（1）解：易得,于是.所以異面直線與所成角的余弦值為（2）證明：已知,,于是·=0，·=0.因此，,,又所以平面(3)解：平面不過原點(diǎn)，將D、E、F的坐標(biāo)分別代入，則,即所以是平面的法向量。由（2）可知，為平面的一個(gè)法向量。于是，從而所以二面角的正弦值為
